数组中不同三元组对之间绝对差的最大总和

问题描述

给定一个包含 n 个整数的数组 a，设计一个算法，计算出数组中由不同三元组 (i, j, k) 组成的三元组对 (i', j', k') 之间的绝对差 $|a_i-a_j|+|a_j-a_k|+|a_i-a_k|$ 的最大总和。

算法分析

首先，我们可以将绝对值符号拆掉，将 $|a_i-a_j|+|a_j-a_k|+|a_i-a_k|$ 转化为以下三种情况的加和：

• $a_i\leq a_j\leq a_k$，原式等于 $(a_i-a_j)+(a_j-a_k)+(a_i-a_k) = 2(a_i-a_k)$；
• $a_j\leq a_i\leq a_k$，原式等于 $(a_i-a_j)+(a_j-a_k)+(a_k-a_i) = 2(a_i-a_j) + 2(a_i-a_k)$；
• $a_j\leq a_k\leq a_i$，原式等于 $(a_i-a_j)+(a_k-a_j)+(a_i-a_k) = 2(a_k-a_j)$。

那么，可以对数组 a 进行排序，从小到大枚举中间元素 j，在左侧和右侧分别用两个指针 i 和 k 扫描，统计出 $a_i\leq a_j\leq a_k$、$a_j\leq a_i\leq a_k$、$a_j\leq a_k\leq a_i$ 这三种情况下的最大贡献即可，其中最大贡献等于上述公式的值。

假设数组 a 的长度为 n，则排序需要 O(nlog(n)) 的时间，枚举中间元素 j 需要 O(n) 的时间，左右指针 i 和 k 分别扫描需要 O(n) 的时间，因此总时间复杂度为 O(nlog(n)+n^2) = O(n^2)。

代码实现

def max_sum_of_diff_triples(a: List[int]) -> int:
    a.sort()
    n = len(a)
    res = 0
    for j in range(1, n - 1):
        i, k = 0, n - 1
        while i < j and j < k:
            res = max(res, 2 * (a[j] - a[i]) + 2 * (a[k] - a[j]))
            if a[j] - a[i] > a[k] - a[j]:
                k -= 1
            else:
                i += 1
    return res

测试样例

输入：

a = [1,2,4,6,8]

输出：

16

解释：

其中的三元组对包括：

• (1,2,4) 和 (4,6,8)，对应的值为 $2+4+6=12$；
• (1,2,6) 和 (2,4,6)，对应的值为 $4+2+4=10$；
• (1,2,8) 和 (2,6,8)，对应的值为 $6+4+6=16$；
• (1,4,6) 和 (6,8,4)，对应的值为 $6+2+6=14$；
• (1,4,8) 和 (4,6,8)，对应的值为 $6+2+4=12$；
• (1,6,8) 和 (2,6,8)，对应的值为 $8+2+4=14$。

共计 6 个不同的三元组对，对应的绝对差之和的最大总和为 16。