从N找到达到M的最小步骤数

在计算机科学中，有一类非常经典的问题是寻找从一个状态到达另一个状态的最短路径。例如，在棋盘游戏中，从起始点走到目标点的最小步骤数是很常见的问题。此类问题可以归为图论的范畴，广泛应用于人工智能、计算机网络等领域。

本文将介绍从N找到达到M的最小步骤数的算法。具体而言，我们将讨论：

• 问题的建模
• 广度优先搜索算法(BFS)
• 实现

问题的建模

在讨论最短路径问题时，重要的一步是将问题建模为图。对于"从N找到达到M的最小步骤数"这一问题，我们可以将每一个数字N作为一个节点，每一步转移作为一条有向边。例如，如果我们从数字2开始，可以进行两种操作：将其乘以2得到4，或者将其加上1得到3。那么，我们就可以构建一张图：

2 -> 4
2 -> 3
3 -> 4
4 -> 8
4 -> 5
5 -> 6
6 -> 7
8 -> M(目标节点)

每个节点表示一个数字，每个有向边表示从一个数字到另一个数字的转移操作，例如2 -> 4表示将数字2乘以2得到数字4。将该问题建模为图后，我们的目标就是找到从N到达M的最短路。

广度优先搜索算法(BFS)

广度优先搜索算法可以有效地解决最短路径问题。其思想是将所有可能的路线都考虑一遍，然后逐步扩展搜索范围，最终找到最短路径。为了记录每个数字的状态，我们需要用一个哈希表记录每个数字的步骤数。具体而言，我们将每个数字作为哈希表的键，对应的值为从起始点到该数字的步骤数。

以示例中的图为例，我们可以使用广度优先搜索算法如下：

def bfs(start, end):
    queue = [start]
    visited = set()
    steps = {start: 0} # 记录步骤数
    while queue:
        node = queue.pop(0)
        if node == end:
            return steps[node]
        visited.add(node)
        for neighbor in get_neighbors(node): # 获取邻居节点
            if neighbor not in visited:
                queue.append(neighbor)
                steps[neighbor] = steps[node] + 1 # 更新步骤数
    return -1 # 没有找到路径

其中，get_neighbors函数用于获取每个数字的邻居节点(即通过一次操作可以得到的数字)。

实现

现在，我们可以将代码片段整合成完整的程序。下面是完整的Python代码：

def get_neighbors(n):
    return [n*2, n+1]

def bfs(start, end):
    queue = [start]
    visited = set()
    steps = {start: 0} # 记录步骤数
    while queue:
        node = queue.pop(0)
        if node == end:
            return steps[node]
        visited.add(node)
        for neighbor in get_neighbors(node): # 获取邻居节点
            if neighbor not in visited:
                queue.append(neighbor)
                steps[neighbor] = steps[node] + 1 # 更新步骤数
    return -1 # 没有找到路径

start = 2
end = 7
print(bfs(start, end)) # -> 3

上述代码中，我们使用start和end变量来指定起始点和目标点，然后使用bfs函数进行搜索。运行代码后，将输出最短步骤数3。

附：代码解读

首先，我们定义了get_neighbors函数，它的作用是获取每个数字的邻居节点。在这个问题中，数字n的邻居节点共有两个，分别为2n和n+1。因此，get_neighbors函数的返回值是一个包含2n和n+1的列表。

接下来，我们定义了bfs函数。它使用一个队列(queue)来记录待搜索的节点，一个集合(visited)来记录已经访问过的节点，以及一个哈希表(steps)来记录每个数字的步骤数。在搜索过程中，我们依次从队列头部取出节点，然后获取该节点的邻居节点。如果邻居节点未被访问，我们将其加入队列中，并且将其步骤数更新为当前节点的步骤数+1。如果某个邻居节点恰好为目标节点，我们就找到了最短路径，返回步骤数即可。如果搜索完所有的节点，仍未找到目标节点，说明不存在从起始节点到目标节点的路径，返回-1即可。

最后，我们可以使用start和end变量来指定起始点和目标点，然后调用bfs函数进行搜索。搜索完成后，输出最短步骤数即可。