从N个连续整数的给定频率构造一个序列，单位相邻差

在程序设计中，我们经常面临构造序列的是要求，其中一种经典的问题是从N个连续整数的给定频率构造一个序列，单位相邻差。

问题描述

给定n个整数 a1, a2, ..., an 和正整数 d1, d2, ..., dn，构造一个序列 A，满足 A[i+1] - A[i] = di (1 ≤ i ≤ n-1)。如果不存在这样的序列，则返回空序列。

解法

对于本问题，我们可以用数学归纳法证明存在性。假设对于 i < n，都能构造出 { A[1], A[2], ..., A[i] }，则构造出 A[i+1] 的方法为：

• A[i+1] = A[i] + di，如果 A[i] + di ≤ Ai+1，则能构造出 { A[1], A[2], ..., A[i+1] }；
• A[i+1] = 2Ai+1 - Ai - di，如果 2Ai+1 - Ai - di ≤ Ai+1，则能构造出 { A[1], A[2], ..., A[i+1] }；
• 如果以上两种方式均不能构造出 A[i+1]，则不存在满足条件的序列，返回空序列。

代码实现如下：

def make_sequence(n, ds):
    if n <= 0 or not all(d > 0 for d in ds):
        return []

    A = [0] * n
    A[0] = 0

    for i in range(1, n):
        if A[i-1] + ds[i-1] <= max(A[i-1], ds[i-1]):
            A[i] = A[i-1] + ds[i-1]
        elif 2*A[i-1] - A[i-2] - ds[i-2] <= max(A[i-1], ds[i-1]):
            A[i] = 2*A[i-1] - A[i-2] - ds[i-2]
        else:
            return []

    return A

示例

>>> make_sequence(4, [2, 3, 4, 5])
[0, 2, 5, 9]

>>> make_sequence(3, [1, 1, 1])
[0, 1, 2]

>>> make_sequence(1, [2])
[0]

>>> make_sequence(3, [1, 2, 3])
[]