K 长度子数组中元素的最大不同质因数

一、问题描述

题目描述：给定数组，对于长度为 k 的子数组中的每个元素，求其所有不同质因数中的最大值。

输入：一个整数序列，长度为 n，元素为非负整数，长度 k。

输出：一个整数序列，表示每个长度为 k 的子数组中元素的最大不同质因数。

二、解题思路

1. 埃氏筛法

在这个问题中，需要快速求出每个数的不同质因数，可以考虑使用埃氏筛法。该算法可以在 O(n log log n) 的时间复杂度内求出 n 以内的所有质数，由此可以推出限制条件 k<=10^5。

然后就可以对每个长度为 k 的子数组进行处理，求出每个元素的不同质因数，再取最大值即可。

2. 线性筛法

埃氏筛法需要遍历整个数组，时间复杂度较高，因此可以考虑使用线性筛法，该算法可以在 O(n) 的时间复杂度内求出 n 以内的所有质数，并且可以同时求出每个数的所有质因数，较适合本题的求解。

使用线性筛法可以将时间复杂度优化到 O(n k)。

三、代码实现

埃氏筛法

def eratosthenes(n):
    is_prime = [True for i in range(n+1)]
    primes = []
    for i in range(2, n+1):
        if is_prime[i]:
            primes.append(i)
            for j in range(i*i, n+1, i):
                is_prime[j] = False
    return primes

def max_prime_factors(num, primes):
    factors = set()
    d = num
    for i in primes:
        while d % i == 0:
            factors.add(i)
            d //= i
        if d == 1:
            break
    return max(factors)
    
def max_factors(arr, k):
    n = len(arr)
    primes = eratosthenes(max(arr))
    res = []
    for i in range(n-k+1):
        res.append(max(max_prime_factors(num, primes) for num in arr[i:i+k]))
    return res

线性筛法

def linear_sieve(n):
    is_prime = [True] * (n+1)
    primes = []
    factors = [[] for _ in range(n+1)]
    for i in range(2, n+1):
        if is_prime[i]:
            primes.append(i)
            factors[i].append(i)
        for p in primes:
            if i*p > n:
                break
            is_prime[i*p] = False
            factors[i*p] = list(set(factors[i]) | set(factors[p]))
            if i % p == 0:
                break
    return primes, factors

def max_prime_factors(num, primes, factors):
    return max(factors[num])

def max_factors(arr, k):
    n = len(arr)
    primes, factors = linear_sieve(max(arr))
    res = []
    for i in range(n-k+1):
        res.append(max(max_prime_factors(num, primes, factors) for num in arr[i:i+k]))
    return res

四、总结

本题主要考察了学员对质因数分解的掌握以及对筛法的理解和应用。

本题的解法有多种，其中埃氏筛法和线性筛法是比较常见的做法。在本题中，由于 k 的范围较小，因此直接使用埃氏筛法即可通过，线性筛法虽然时间复杂度更低，但实际上并没有体现出优势，在处理更大的数据时，线性筛法会更为合适。

针对本题的优化方法，可以考虑对质因数进行预处理，对于无需重复计算的质因数，直接带进去，可节省一些时间。

总之，要熟练掌握各种筛法的实现、应用和优化方法才能在数据结构和算法领域取得更好的成绩。