最大化 K 个数组元素的不同质因数的总和

简介

在给定的整数数组中选取 K 个元素，使得这 K 个元素所包含的不同质因数的总和最大化。

解法

分析

首先，我们需要进行以下几个步骤：

1. 将数组中的元素因式分解，得到每个元素包含的质因数
2. 对于每个元素，统计其包含的不同质因数的个数
3. 对于每个元素，记录下其包含的不同质因数的集合
4. 将问题转化为在所有元素的不同质因数集合中选取 K 个，使得这 K 个集合所包含的元素总数最大化。

接下来，我们从第四步开始详细讨论两种解法。

解法1：贪心算法

贪心算法的思想是优先选取包含较多不同质因数的元素，从而尽可能多地覆盖不同的质因数。具体实现方法如下：

1. 对于每个元素，按照其包含的不同质因数的个数从大到小排序。若包含不同质因数的个数相同，则按照其包含的元素个数从大到小排列。
2. 依次从排列后的元素中选取含有最多不同质因数的元素，将其包含的不同质因数加入到一个集合中。如果选取后的质因数集合大小大于等于 K，就停止选取。
3. 最终选取的质因数集合即为所求的答案。

该算法的时间复杂度为 O(nlogn)，其中 n 是数组中元素的个数。需要注意的是，该算法不保证得到的答案是最优解。

解法2：动态规划

动态规划的思想是将原问题分解为若干个子问题，通过求解子问题来得到原问题的解。具体实现方法如下：

1. 将问题转化为一个背包问题，将每个元素的不同质因数集合看作一个物品，其元素个数为其包含的不同质因数的个数。将每个元素的重量设置为这个元素包含的质因数个数，价值设置为这个元素的元素个数。
2. 对所有的物品进行背包，选取总重量不超过 K 的最大价值。

该算法的时间复杂度为 O(nmlogm)，其中 n 是数组中元素的个数，m 是元素所包含的不同质因数的总数。该算法得到的一定是最优解，但是空间复杂度较高，需要 O(nm) 的额外空间。

示例代码

解法1：贪心算法

def max_prime_factor_sum(numbers, k):
    primes = set()
    elements = [(set(), set(factors)) for factors in map(factorize, numbers)]
    elements.sort(key=lambda x: (-len(x[1]), -len(x[0])))
    result = 0
    for i in range(k):
        result += len(elements[i][1])
        primes |= elements[i][1]
    return result

def factorize(n):
    factors = set()
    d = 2
    while d * d <= n:
        while (n % d) == 0:
            factors.add(d)
            n //= d
        d += 1
    if n > 1:
        factors.add(n)
    return factors

解法2：动态规划

def max_prime_factor_sum(numbers, k):
    max_prime = max([x for n in numbers for x in factorize(n)])
    dp = [0] * (k + 1)
    for p in range(2, max_prime + 1):
        count = 0
        weights = []
        values = []
        for n in numbers:
            factors = set(filter(lambda x: x <= p, factorize(n)))
            if factors:
                count += 1
                weights.append(len(factors))
                values.append(len(factors & primes))
        if not weights:
            continue
        for i in range(k, weights[-1], -1):
            for j in range(len(weights)):
                if i >= weights[j]:
                    dp[i] = max(dp[i], dp[i - weights[j]] + values[j])
    return dp[k]

def factorize(n):
    factors = []
    d = 2
    while d * d <= n:
        while (n % d) == 0:
            factors.append(d)
            n //= d
        d += 1
    if n > 1:
        factors.append(n)
    return set(factors)

primes = set([2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29])