最小子矩阵，XOR最大为Xth

简介

这是一个基于动态规划的问题，目标是在给定的矩阵中找到一个子矩阵，使得其中所有元素的异或值能够达到最大，且该异或值必须小于等于给定的Xth值。

解题思路

我们可以通过动态规划的方式来解决这个问题，其中状态转移函数由以下公式来定义：

$$dp[i][j] = dp[i-1][j] \oplus dp[i][j-1] \oplus dp[i-1][j-1] \oplus A[i][j]$$

其中，$dp[i][j]$ 表示以$(i,j)$为右下角的最小子矩阵的异或值，$A[i][j]$ 表示矩阵中第 $i$ 行第 $j$ 列的元素。那么我们要求的就是所有 $dp[i][j]$ 小于等于 $Xth$ 中最大的值。

我们可以通过枚举子矩阵的左上角和右下角来找到答案，具体过程如下：

1. 枚举子矩阵的左上角和右下角，假设左上角坐标为 $(x1, y1)$，右下角坐标为 $(x2, y2)$；
2. 计算以 $(x2,y2)$ 为右下角的最小子矩阵的异或值，即 $dp[x2][y2]$；
3. 计算以 $(x1-1,y1-1)$ 为右下角，$(x2,y2)$ 为左上角的子矩阵的异或值，即 $dp[x2][y2] \oplus dp[x1-1][y1-1]$；
4. 判断上述异或值与 $Xth$ 的大小关系，如果异或值小于等于 $Xth$，则更新答案；
5. 重复步骤1~4，直到枚举完所有的子矩阵。

代码示例

以下是一个Python的参考实现：

def solve(matrix, Xth):
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    dp = [[0] * (n+1) for _ in range(m+1)]
    ans = -1
    
    for i in range(1, m+1):
        for j in range(1, n+1):
            dp[i][j] = dp[i-1][j] ^ dp[i][j-1] ^ dp[i-1][j-1] ^ matrix[i-1][j-1]
            if dp[i][j] <= Xth:
                ans = max(ans, dp[i][j])
    
    return ans

以上代码中，我们使用了一个$dp$数组来保存动态规划的状态，其中 $dp[i][j]$ 表示以 $(i,j)$ 为右下角的最小子矩阵的异或值。最后，函数返回的 $ans$ 就是所有 $dp[i][j]$ 小于等于 $Xth$ 中最大的值。