平衡给定数字 N 的括号

在计算机编程中，平衡括号是一个常见的问题。在一个括号序列中，括号必须以正确的顺序闭合。给定一个数字 N，我们的任务是生成所有有效的括号序列，使得括号总数为 N。

问题描述

给定一个正整数 N，我们要编写一个函数来生成所有长度为 2N 的平衡括号序列。一个平衡括号序列定义如下：

• 空字符串是一个平衡括号序列。
• 如果字符串 S 是一个平衡括号序列，那么"(S)" 也是一个平衡括号序列。
• 如果字符串 S 和 T 是两个平衡括号序列，那么 ST 也是一个平衡括号序列。

例如，对于 N=3，我们可以生成的所有平衡括号序列为：

• "((()))"
• "(()())"
• "(())()"
• "()(())"
• "()()()"

解决方案

我们可以使用递归的方式来解决这个问题。

算法

1. 创建一个空列表，用于存储平衡括号序列。
2. 定义一个帮助函数，该函数将生成平衡括号序列并将其添加到列表中。
   • 函数参数包括已生成的括号序列、左括号的数量和右括号的数量。
   • 如果左括号和右括号的数量均为 N，则将括号序列添加到列表中并返回。
   • 如果左括号的数量小于 N，则可以添加一个左括号，并递归调用帮助函数。
   • 如果右括号的数量小于左括号的数量，则可以添加一个右括号，并递归调用帮助函数。
3. 调用帮助函数，并将结果返回。

代码实现

def generateParenthesis(N):
    res = []
    
    def backtrack(S, left, right):
        if len(S) == 2 * N:
            res.append(S)
            return
        
        if left < N:
            backtrack(S + "(", left + 1, right)
        if right < left:
            backtrack(S + ")", left, right + 1)
    
    backtrack("", 0, 0)
    return res

示例

print(generateParenthesis(3))

输出结果为：

["((()))", "(()())", "(())()", "()(())", "()()()"]

复杂度分析

• 时间复杂度：O(4^N / sqrt(N))，其中 N 是给定数字。
• 空间复杂度：O(4^N / sqrt(N))，存储所有平衡括号序列。