给定数的斐波那契除数的数量

斐波那契数列是一个非常经典的数列，它的定义为：前两项为 0 和 1，后续项为前两项之和。斐波那契数列的前几项为：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...

在计算斐波那契数列的过程中，很有意思的一件事情就是，对于一些数，它们能被某个斐波那契数整除。那么，给定一个数 n，如何计算它的斐波那契因子个数呢？本文将会给出两种不同的计算方法。

方法一：暴力枚举

第一种方法比较直接，就是直接暴力枚举，看它是否被斐波那契数整除。代码如下：

def fibonacci_count(n):
    a, b = 0, 1
    count = 0
    while a <= n:
        if n % a == 0:
            count += 1
        a, b = b, a+b
    return count

以上代码中，先初始化 a = 0, b = 1，并用 count 记录符合条件的数量。之后进行循环，每次计算 a+b，同时判断 n 是否被 a 整除，如果是的话，count 加 1。最后返回 count 即可。

暴力枚举的时间复杂度是 O(logn)，接下来我们将介绍一种更加高效的实现方法。

方法二：求出斐波那契质因数分解结果

第二种方法是基于质因数分解的思路，首先我们把待分解的数进行质因数分解，设结果为：

$$n = p_1^{\alpha_1} * p_2^{\alpha_2} * ... * p_k^{\alpha_k}$$

接下来，我们需要计算每个质因数的指数值。假设 $F_i$ 是斐波那契数列的第 i 项，我们可以得到以下的规律：

• 对于 i > 2，若 $F_i$ 是 p 的倍数，则 $F_{i+\alpha_p}$ 也是 p 的倍数。

根据上面的规律，我们可以建立 f 数组，表示对应的斐波那契数是否是对应的质因数的倍数。对于上面的规律，我们只需要循环 i ，一边循环一边更新 f 数组即可。

最后，我们根据 f 数组中数值为 True 的数量，即可计算出 n 的斐波那契因子个数。代码如下：

def fibonacci_count(n):
    # 获取质因数
    factor_counts = {}
    while n % 2 == 0:
        n //= 2
        factor_counts[2] = factor_counts.get(2, 0) + 1
    for i in range(3, int(n**0.5)+1, 2):
        while n % i == 0:
            n //= i
            factor_counts[i] = factor_counts.get(i, 0) + 1
    if n > 2:
        factor_counts[n] = factor_counts.get(n, 0) + 1
    
    # 确定斐波那契数是否为因数
    f = [False] * max(factor_counts)
    f[0], f[1], f[2] = True, True, True
    for i in range(3, len(f)):
        f[i] = f[i-2] or f[i-1]
    
    # 统计因数个数
    count = 1
    for k, v in factor_counts.items():
        if f[k] and v > 0:
            count *= (v+1)
    return count

近似时间复杂度为 $O(n^{1/2})$。

以上就是本文给出的两种计算给定数斐波那契除数数量的方法。这些方法可以在数论等领域中得到应用。