查找较大的 x^y 和 y^x

在计算机科学中，有时需要比较两个数的大小，其中这两个数是以不同的形式给出的。在这篇文章中，我们将研究如何比较 $x^y$ 和 $y^x$ ，其中 $x$ 和 $y$ 都是正整数。

直观想法

如果 $x$ 和 $y$ 的值很小，我们可以直接计算 $x^y$ 和 $y^x$ ，然后将它们进行比较。但是，如果 $x$ 和 $y$ 很大，这种方法就不太可行了。因此，我们需要一种更有效的方法。

使用对数

如果我们取 $\log$ ，那么 $x^y$ 可以被表示为 $y\log(x)$ ，而 $y^x$ 可以被表示为 $x\log(y)$ 。如果 $x > y$ ，那么 $x^y > y^x$ 当且仅当 $y\log(x) > x\log(y)$ ，等价于 $\dfrac{\log(x)}{x} > \dfrac{\log(y)}{y}$ 。

考虑函数 $f(t) = \dfrac{\log(t)}{t}$ 。当 $t$ 很大时， $f(t)$ 的值是趋近于 $0$ 的。当且仅当 $t=e$ 时， $f(t)$ 的值最大，为 $f(e)=\dfrac{1}{e}$ 。

因此，当 $x > y$ 时，如果 $\dfrac{\log(x)}{x} > \dfrac{\log(y)}{y}$ ，那么 $x^y > y^x$ 。

代码实现

以下是使用 Python 语言实现上述算法的代码片段：

import math

def compare_power(x: int, y: int) -> bool:
    if x == y:
        return False
    if x < y:
        x, y = y, x
    return math.log(x) / x > math.log(y) / y

该函数返回一个布尔值，指示 $x^y$ 是否大于 $y^x$ 。

测试样例

以下是一些测试样例：

assert compare_power(2, 3) == True  # 2^3=8，3^2=9
assert compare_power(3, 2) == False  # 3^2=9，2^3=8
assert compare_power(2, 2) == False  # 2^2=4，2^2=4
assert compare_power(10, 100) == False  # 10^100 > 100^10
assert compare_power(100, 10) == True  # 100^10 < 10^100
assert compare_power(1000, 100) == True  # 1000^100 > 100^1000

当 $x=2$ 且 $y=3$ 时， $2^3$ 和 $3^2$ 的值分别为 $8$ 和 $9$ 。因此，该函数应当返回 True 。