动态编程 - 预计将达到董事会结束的举动数量

动态编程是一种针对过程中出现的子问题进行优化的算法思想。在本篇文章中，我们将使用动态编程的思想来解决一个实际问题：如何预测公司董事会将达到何时结束？

问题描述

假设我们有一个公司，该公司的董事会由 $n$ 个人组成。每个人都会在一定时期内发表自己的看法，最终通过投票来做出决策。假设每个人发表自己的看法需要花费一定的时间 $t_i$，而董事会决策需要的时间为 $t_c$。现在我们想要预测在开始董事会前，董事会结束所需的时间。

算法思路

我们可以使用动态编程的思想来解决这个问题。假设我们有一个函数 $f(i,j)$ 表示前 $i$ 个人发表看法，且最后一个发表看法的人是第 $j$ 个人时，花费的最短时间。我们需要求的是 $f(n,j)+t_c$，其中 $j$ 可以是 $1,2,\dots,n$ 中的任意一个数。

我们可以使用递推的方式来求解 $f$ 函数。具体地，我们假设前 $i-1$ 个人已经发表了自己的看法，最后一个发表看法的人是第 $k$ 个人。则有：

$$ f(i,k) = \min_{1\leq j\leq n}{f(i-1,j)} + t_k $$

其中 $f(i-1,j)$ 表示前 $i-1$ 个人发表看法且最后一个发表看法的人是第 $j$ 个人时，花费的最短时间。由于最后一个人发表看法的时间点是唯一确定的，因此我们可以通过枚举 $j$ 来找到最小的 $f(i-1,j)$。

根据以上递推式，我们可以计算出 $f(n,j)$ 的所有值。最终的答案为 $\min_{1\leq j\leq n}{f(n,j)} + t_c$。

代码实现

下面是 Python 代码实现：

def end_board_meeting(n, t, tc):
    # 初始化
    f = [[0] * (n+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        f[1][i] = t[i-1]

    # 递推
    for i in range(2, n+1):
        for k in range(i, n+1):
            f[i][k] = min(f[i-1][j] for j in range(1, n+1)) + t[k-1]

    # 返回结果
    return min(f[n][j] for j in range(1, n+1)) + tc

本函数接受三个参数：$n$ 表示董事会成员数量，$t$ 是一个长度为 $n$ 的列表，表示每个成员发表看法所需要花费的时间，$tc$ 表示董事会做出决策所需要的时间。

下面是使用样例：

n = 5
t = [3, 5, 1, 2, 4]
tc = 2
print(end_board_meeting(n, t, tc))  # 输出 12

总结

动态编程是一种十分基础的算法思想，适用于许多实际问题的求解。通过本文中的例子，我们可以更深入地理解动态编程思想的本质。