完美正方形

简介

完美正方形是一种特殊的正方形，它的四个顶点坐标以及中心点坐标都为整数，且满足对称性，即相邻顶点的横纵坐标之和相等，中心点坐标为相邻顶点横纵坐标之和的一半。

完美正方形在计算机图形学和计算几何中广泛应用，特别是在计算机视觉和机器学习领域中，用于图像处理和特征提取等方面。

计算方法

1. 先确定正方形中心点坐标 $(x,y)$ 以及边长 $l$。

   完美正方形的中心点坐标必然是相邻两个顶点横纵坐标之和的一半。因此，可以选择两个相邻的顶点 $P_1(x_1,y_1)$ 和 $P_2(x_2,y_2)$ ，它们的横纵坐标之和应该相等。假设两点间的距离为 $d$，那么中心点的坐标为 $(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，边长为 $l=\frac{\sqrt{2}}{2}d$。

   # Python 实现
   def perfect_square(P1, P2):
       d = ((P1[0]-P2[0])**2 + (P1[1]-P2[1])**2)**0.5
       x = (P1[0]+P2[0])/2
       y = (P1[1]+P2[1])/2
       l = (2**0.5/2)*d
       return ((x,y), l)
   

2. 根据中心点坐标和边长计算顶点坐标。

   根据完美正方形的定义，可以计算出相邻顶点之间的距离为 $l\sqrt{2}$。

   我们可以以中心点为原点，将正方形顺时针旋转45度，然后分别计算四个顶点的坐标。假设某个顶点的坐标为 $(x_0,y_0)$，那么下一个顶点的坐标为 $(x_0+l\sqrt{2},y_0)$，再下一个顶点的坐标为 $(x_0+l\sqrt{2},y_0+l\sqrt{2})$，最后一个顶点的坐标为 $(x_0,y_0+l\sqrt{2})$。

   # Python 实现
   def square_vertices(center, l):
       x0, y0 = center[0]-l/2**0.5, center[1]-l/2**0.5
       return [(x0,y0), (x0+l, y0), (x0+l, y0+l), (x0, y0+l)]
   

应用案例

下面是一个基于完美正方形的图像处理应用案例，它可以用于检测图像中是否存在完美正方形，并标出相应的位置和边长。该应用利用了OpenCV库中的边缘检测和霍夫线变换算法，可以高效地处理大规模图像数据。

# Python/OpenCV 实现
import cv2
import numpy as np

def find_perfect_squares(img, threshold=200):
    # 边缘检测
    edges = cv2.Canny(img, threshold, threshold*2)

    # 霍夫线变换
    lines = cv2.HoughLines(edges, 1, np.pi/180, 100)
    lines = [line[0] for line in lines.tolist()]

    # 根据角度将线段分类
    h_lines = []
    v_lines = []
    for rho, theta in lines:
        if np.abs(theta - np.pi/2) < np.pi/6:
            v_lines.append((rho, theta))
        elif np.abs(theta) < np.pi/6 or np.abs(theta - np.pi) < np.pi/6:
            h_lines.append((rho, theta))

    # 计算正方形中心点和边长
    squares = []
    for h_line in h_lines:
        for v_line in v_lines:
            x, y = np.round(cv2.solve(np.array([[np.cos(h_line[1]), np.sin(h_line[1])], [np.cos(v_line[1]), np.sin(v_line[1])]]), np.array([h_line[0], v_line[0]])))
            center, l = perfect_square((int(x[0]), int(y[0])), (int(x[1]), int(y[1])))
            vertices = np.array([square_vertices(center, l)], np.int32)
            squares.append((center, l, vertices))

    return squares

该函数返回一个列表，其中每个元素代表一个完美正方形，包含中心点坐标、边长和顶点坐标等信息。

下面是一个示例代码，用于检测一张图片中是否存在完美正方形，并将检测结果可视化。

# Python/OpenCV 实现（示例代码）
import cv2
import numpy as np

img = cv2.imread('image.jpg')

squares = find_perfect_squares(img)

for center, l, vertices in squares:
    cv2.polylines(img, vertices, True, (0, 0, 255), thickness=2)
    cv2.putText(img, str(int(l)), (int(center[0]-l/2), int(center[1]-l/2)), cv2.FONT_HERSHEY_SIMPLEX, 1, (0, 0, 255), thickness=2)

cv2.imshow('image', img)
cv2.waitKey(0)
cv2.destroyAllWindows()

该示例代码可以检测图像中的完美正方形，并将边长标出。该应用可以用于医学影像分析、目标识别等领域。