打印所有Proth素数至N

Proth素数是形如 $k \times 2^n + 1$ 的素数，其中 $k$ 是奇正整数，$n$ 是正整数。本文将介绍如何编写一个程序来打印所有的Proth素数直到给定的数$N$。

算法

以下是一个简单的算法来打印所有的Proth素数：

1. 对于给定的 $N$，找到最大的整数 $n$，使得 $2^n < N$。
2. 对于 $n$ 的所有奇数 $k$（$1 \leq k \leq \frac{N-1}{2^n}$），检查 $k \times 2^n + 1$ 是否为素数。
3. 如果 $k \times 2^n + 1$ 是素数，则将其打印出来。

下面是一个Python实现的示例代码：

import math

def is_prime(n):
    """
    检查一个数是否为素数
    """
    if n <= 1:
        return False
    elif n <= 3:
        return True
    elif n % 2 == 0 or n % 3 == 0:
        return False
    i = 5
    while i * i <= n:
        if n % i == 0 or n % (i + 2) == 0:
            return False
        i += 6
    return True

def print_proth_primes(N):
    """
    打印所有的Proth素数直到N
    """
    n = int(math.log2(N)) + 1
    for k in range(1, int((N-1) / (2**n)) + 1, 2):
        proth = k * (2**n) + 1
        if is_prime(proth):
            print(proth)

print_proth_primes(100000)

Markdown代码片段

# 打印所有Proth素数至N

Proth素数是形如 $k \times 2^n + 1$ 的素数，其中 $k$ 是奇正整数，$n$ 是正整数。本文将介绍如何编写一个程序来打印所有的Proth素数直到给定的数$N$。

## 算法

以下是一个简单的算法来打印所有的Proth素数：

1. 对于给定的 $N$，找到最大的整数 $n$，使得 $2^n < N$。
2. 对于 $n$ 的所有奇数 $k$（$1 \leq k \leq \frac{N-1}{2^n}$），检查 $k \times 2^n + 1$ 是否为素数。
3. 如果 $k \times 2^n + 1$ 是素数，则将其打印出来。

下面是一个Python实现的示例代码：

``` python
import math

def is_prime(n):
    """
    检查一个数是否为素数
    """
    if n <= 1:
        return False
    elif n <= 3:
        return True
    elif n % 2 == 0 or n % 3 == 0:
        return False
    i = 5
    while i * i <= n:
        if n % i == 0 or n % (i + 2) == 0:
            return False
        i += 6
    return True

def print_proth_primes(N):
    """
    打印所有的Proth素数直到N
    """
    n = int(math.log2(N)) + 1
    for k in range(1, int((N-1) / (2**n)) + 1, 2):
        proth = k * (2**n) + 1
        if is_prime(proth):
            print(proth)

print_proth_primes(100000)

结论

使用上面的算法和实现，可以打印所有的Proth素数直到给定的数$N$。