最小化添加的质数总和以使数组不减少

简介

在给定一个数组的情况下，我们希望最小化添加的质数总和以使数组不减少。具体来说，我们需要找到最小的一组质数集合，将其加入原数组中，使得加入后的数组仍然是非降序的。

实现思路

1. 遍历原数组，记录每个相邻的逆序对以及它们之间的差值。比如对于数组 [3, 1, 5, 2]，我们记录的逆序对为 (3,1)，(5,2)，记录的差值为 2，3。
2. 对于每个逆序对，我们需要找到一个质数，使得将该质数插入到逆序对中间时，新的数组仍然是非降序的。如果找不到这样的质数，我们需要将该逆序对用一堆质数填充。因此，我们需要采用贪心策略，尽可能地选取小的质数。
3. 重复步骤2，直到所有的逆序对均被处理完毕为止。

代码示例

下面是用 Python 实现的代码片段。其中，is_prime() 函数用于判断一个数字是否为质数，get_primes() 函数用于获取一组质数，add_primes() 函数用于将质数加入到原数组的逆序对中间。

import math

def is_prime(n):
    """
    判断一个数字是否为质数
    """
    if n <= 1:
        return False
    for i in range(2, int(math.sqrt(n)) + 1):
        if n % i == 0:
            return False
    return True

def get_primes(n):
    """
    获取小于等于n的质数列表
    """
    primes = []
    for i in range(2, n + 1):
        if is_prime(i):
            primes.append(i)
    return primes

def add_primes(nums):
    """
    最小化添加的质数总和以使数组不减少
    """
    primes = get_primes(max(nums))
    while True:
        pairs = []
        for i in range(len(nums) - 1):
            if nums[i] > nums[i + 1]:
                pairs.append((i, i + 1, nums[i] - nums[i + 1]))
        if not pairs:
            break
        pairs = sorted(pairs, key=lambda x: x[2], reverse=True)
        i, j, _ = pairs[0]
        inserted = False
        for p in primes:
            new_num = nums[:i] + [p] + nums[i:j + 1] + [p] + nums[j + 1:]
            if new_num == sorted(new_num):
                nums = new_num
                inserted = True
                break
        if not inserted:
            nums = nums[:i] + get_primes(pairs[0][2]) + nums[j + 1:]
    return nums

总结

本文介绍了如何最小化添加的质数总和以使数组不减少，具体思路是找到每个逆序对，尽可能地用小的质数去填充，直到所有的逆序对都被处理完毕为止。这里的贪心策略是依次尝试每个质数，直到找到一个合适的位置为止。该问题的时间复杂度为 $O(n^2)$，可以使用一些优化手段来提高效率。