最小化添加的素数总和以使数组不减少

简介

给定一个由正整数构成的数组，每次可以向数组中添加一个素数，使得数组不减少。需要找到添加素数的最小总和。

解题思路

首先我们需要知道素数的性质，素数是除了1和它本身以外没有其他因数的正整数。因此，我们可以遍历每个数，判断其是否素数。如果不是素数，我们从小到大枚举素数，直到找到一个素数，使得添加后的数值不小于当前数值。

为了使用更高效的算法，我们可以使用动态规划来解决问题。我们定义 $dp_i$ 表示将前 $i$ 个数变为非递减序列需要添加的最小素数总和。我们可以根据前面的结果，得到一个递推公式：

$$dp_i = dp_j + p_k$$

其中，$j$ 表示在 $[1, i)$ 的范围内最后一个比 $i$ 小的数的位置，$p_k$ 表示添加的素数。需要保证加入 $p_k$ 后，$i$ 大于等于 $j$ 所在的数。

代码实现

def is_prime(n):
    if n < 2:
        return False
    for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
        if n % i == 0:
            return False
    return True

def minimize_sum(arr):
    dp = [0] * len(arr)
    for i in range(1, len(arr)):
        dp[i] = float('inf')
        for j in range(i):
            if arr[i] >= arr[j]:
                continue
            for k in range(2, arr[i] + 1):
                if is_prime(k) and arr[j] <= k and dp[j] + k < dp[i]:
                    dp[i] = dp[j] + k
    return dp[-1]

时间复杂度

假设数组长度为 $n$，该算法的时间复杂度为 $O(n^3\sqrt{M})$，其中 $M$ 表示数组中最大的数。

空间复杂度

该算法需要额外使用一个 $O(n)$ 的空间记录最小素数总和，因此空间复杂度为 $O(n)$。

结论

该算法能够找到添加素数的最小总和，并保证最终数组不递减。但是，时间复杂度较高，对于较长的数组可能会超时。因此，需要结合实际情况选择合适的解法。