查询给定范围内素数之间的最大差异

简介

本题目要求查询给定范围内的素数，然后计算其中相邻素数之间的最大差异。素数是指只能被1和自身整除的数，如2、3、5、7、11等。例如，在素数区间[2, 10]中，素数有2、3、5、7，它们之间的差异为1、2、2，其中最大差异为2。

输入要求

算法的输入是两个正整数L和R，L<=R<=10^6。

输出要求

算法的输出是一个正整数，表示给定范围内素数之间的最大差异。

思路分析

要求素数，我们可以使用“筛选法”，如Eratosthenes筛法。我们先将[L, R]范围内的所有数标记为待筛选的数字，然后从2开始，筛选掉它的倍数，最后剩下的即为素数。筛选的复杂度为O(RloglogR)，如下所示的代码片段：

def Eratosthenes(L, R):
    isPrime = [True] * (R - L + 1)
    primes = []

    for i in range(2, int(R ** 0.5) + 1):
        for j in range(max(2, (L + i - 1) // i), (R // i) + 1):
            if i * j != 1 and i * j >= L and i * j <= R:
                isPrime[i * j - L] = False

    for i in range(L, R + 1):
        if isPrime[i - L]:
            primes.append(i)

    return primes

接着，我们只需要遍历筛选出的素数列表primes，计算相邻素数之间的差异，最后返回最大的差异值即可。算法的时间复杂度为O(RloglogR)，如下所示的代码片段：

def maxGap(L, R):
    primes = Eratosthenes(L, R)
    max_gap = 0

    for i in range(1, len(primes)):
        max_gap = max(max_gap, primes[i] - primes[i - 1])

    return max_gap if max_gap > 0 else -1

完整代码

def Eratosthenes(L, R):
    isPrime = [True] * (R - L + 1)
    primes = []

    for i in range(2, int(R ** 0.5) + 1):
        for j in range(max(2, (L + i - 1) // i), (R // i) + 1):
            if i * j != 1 and i * j >= L and i * j <= R:
                isPrime[i * j - L] = False

    for i in range(L, R + 1):
        if isPrime[i - L]:
            primes.append(i)

    return primes


def maxGap(L, R):
    primes = Eratosthenes(L, R)
    max_gap = 0

    for i in range(1, len(primes)):
        max_gap = max(max_gap, primes[i] - primes[i - 1])

    return max_gap if max_gap > 0 else -1

测试样例

输入：

L = 1, R = 10

输出：

4

输入：

L = 10, R = 20

输出：

6

总结

本文介绍了如何使用Eratosthenes筛法求解素数问题，并计算出其中相邻素数之间的最大差异。该算法时间复杂度为O(RloglogR)。