一组N个元素上的反对称关系数

反对称关系是指对于一个集合中的元素对 $(a, b)$，如果 $(a, b)$ 属于该关系，那么 $(b, a)$ 一定不属于该关系。换句话说，如果集合中存在两个元素 $a$ 和 $b$ 满足 $(a, b)$ 属于该关系，那么 $a$ 和 $b$ 一定不相等。

反对称关系可以用一个布尔矩阵来表示。该矩阵的第 $i$ 行第 $j$ 列的值为 1 表示元素对 $(i, j)$ 属于该关系，否则为 0。由于反对称关系具有对称性和反对称性，因此该矩阵是一个对称矩阵，并且矩阵上的对角线元素均为 0。

假设我们有一个大小为 N 的集合，其元素分别为 0, 1, 2, ..., N-1。现在我们要求该集合上的所有反对称关系数。

算法

假设我们已经求解了集合大小为 N-1 的所有反对称关系数，现在需要计算集合大小为 N 的情况。我们考虑对第 N 个元素进行分类讨论：

• 第 N 个元素不在任何元素的前面。此时，集合大小为 N-1，我们直接使用之前求解的结果。
• 第 N 个元素在某个元素 $i$ 的前面。此时，我们需要将元素 $i$ 与元素 N 进行交换，得到新的集合。由于反对称关系不受元素名称的影响，因此该关系在新集合上仍然成立。我们可以将新集合大小缩小为 N-1 进行递归求解，并将得到的结果乘以 N。
• 第 N 个元素在某些元素的前面。此时，我们需要将这些元素中最小的一个 $i$ 选出来，同样地进行交换，得到新的集合。我们再次缩小集合大小为 N-1 进行递归求解，得到的结果乘以 C(N-1, k)（其中 k 是元素在集合中出现的次数）。

最终的结果可以通过上述递归方法求得。

代码

下面是用 Python 实现的代码：

def count_antisymmetric_relations(N):
    # 初始化 dp 数组
    dp = [[0] * (1 << N) for _ in range(N)]
    for i in range(N):
        dp[i][1 << i] = 1
    # 依次计算集合大小为 2..N 的情况
    for size in range(2, N + 1):
        # 枚举最后一个元素
        for last in range(N):
            # 最后一个元素不在任何元素前面的情况
            sub = (1 << last)
            dp[last][sub] = dp[last - 1][sub]
            # 最后一个元素在某个元素前面的情况
            for i in range(last):
                if sub & (1 << i):
                    dp[last][sub] += dp[i][sub ^ sub_i] * last
            # 最后一个元素在某些元素前面的情况
            for sub_i in range(1, sub):
                if sub_i & (1 << last):
                    k = bin(sub_i).count('1')
                    dp[last][sub] += dp[last - 1][sub ^ sub_i] * binom(size - 1, k)
    # 返回结果
    return sum(dp[i][-1] for i in range(N))

该算法的时间复杂度为 $\mathcal{O}(N 3^N)$，空间复杂度为 $\mathcal{O}(N 2^N)$。