数字金字塔

数字金字塔是一种常见的算法问题，通常用于帮助新手程序员理解递归和动态规划以及搜索等算法。在数字金字塔问题中，给定一个数值金字塔，我们需要从顶部到底部找到最大路径总和。

问题描述

假设我们有一个数字金字塔，形状如下所示：

      1
    2   3
  4   5   6
7   8   9   10

如上所示，数字金字塔由一系列数字组成，并通过空格子隔开。我们需要找到从顶部到底部的最大路径数字总和。在上图中，最大路径数字总和为 1 + 3 + 6 + 10 = 20。

解法

递归

最简单的解法是使用递归。递归函数应该以金字塔的一个数字和它下一行的两个数字作为参数，找到从该数字开始到底部的最大路径数字总和。基本情况是，如果金字塔只有一行，则返回该数字本身。否则，分别计算从该数字的左侧下一行数字和右侧下一行数字出发到底部的最大路径数字总和，然后返回该数字加上两个值中的最大值。如下所示：

def max_path_sum(row, col, pyramid):
    # 判断是否到达底部
    if len(pyramid) == row + 1:
        return pyramid[row][col]
    
    # 递归左右子树
    left = max_path_sum(row+1, col, pyramid)
    right = max_path_sum(row+1, col+1, pyramid)
    
    return pyramid[row][col] + max(left, right)

动态规划

递归算法的缺点在于计算重复子问题。而动态规划可以避免这个问题。我们可以根据递归算法来设计状态转移方程。

我们定义 $dp[i][j]$ 表示从位置 $(i, j)$ 到底部的最大路径数字总和。状态转移方程为：

$$ dp[i][j] = pyramid[i][j] + \max(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1]) $$

在实现动态规划算法时，我们可以从底部开始往上计算，最终返回 $dp[0][0]$ 的值。这种方法的时间复杂度为 $O(n^2)$，其中 $n$ 是数字金字塔的高度。如下所示：

def max_path_sum(pyramid):
    n = len(pyramid)
    dp = [[0] * (i+1) for i in range(n)]
    for i in range(n-1, -1, -1):
        for j in range(i+1):
            if i == n - 1:
                dp[i][j] = pyramid[i][j]
            else:
                dp[i][j] = pyramid[i][j] + max(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1])
    return dp[0][0]

搜索

另一种解法是使用搜索算法。我们可以将数字金字塔看作一个有向无环图（DAG），从顶部出发，尝试所有可能的路径，找到从顶部到底部的最大路径数字总和。

我们可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）算法来实现搜索解法。这种方法的时间复杂度为 $O(2^n)$，其中 $n$ 是数字金字塔的高度。如下所示：

def max_path_sum(pyramid):
    n = len(pyramid)
    max_sum = float('-inf')
    
    def dfs(row, col, path_sum):
        nonlocal max_sum
        if row == n:
            max_sum = max(max_sum, path_sum)
            return
        dfs(row+1, col, path_sum+pyramid[row][col])
        dfs(row+1, col+1, path_sum+pyramid[row][col])
    
    dfs(0, 0, 0)
    return max_sum

总结

数字金字塔是一种常见的算法问题，具有丰富的解法。递归算法、动态规划算法和搜索算法各有特点，可以根据具体问题选择不同的算法解决。此外，数字金字塔问题还有很多变体，例如需要找到最大路径数字总和的实际路径，或者需要用最小路径数字总和替换最大路径数字总和等等。在解决数字金字塔问题时，可以通过多种方法来提高算法性能和编码效率。