部分总和是什么意思

部分总和，也叫做前缀和，是指一个序列中，从第一个元素开始到当前位置所有元素的和。在计算机科学中，部分总和常常出现在算法和数据结构中，可以用来优化某些操作的时间复杂度。

如何求部分总和

假设有一个序列 $a$，其中 $a_i$ 表示第 $i$ 个元素的值。我们可以使用一个数组 $s$ 来记录部分总和，即 $s_i$ 表示序列 $a$ 的前 $i$ 个元素的和。具体来说，$s_i$ 的计算方法如下：

$$s_i = \sum_{j=1}^i a_j$$

这个计算方法可以使用动态规划的思想，从前往后依次计算得到。代码如下：

def partial_sum(a):
    n = len(a)
    s = [0]*n
    s[0] = a[0]
    for i in range(1, n):
        s[i] = s[i-1] + a[i]
    return s

应用场景

区间求和

有了部分总和数组 $s$，我们可以用 $O(1)$ 的时间复杂度求出序列中任意一段区间的和。具体来说，假设要求出序列的第 $l$ 个元素到第 $r$ 个元素的和，那么可以使用以下公式：

$$\sum_{i=l}^r a_i = s_r - s_{l-1}$$

另外，如果序列 $a$ 是不变的，但是有多次查询不同区间的和，部分总和可以帮助我们优化时间复杂度。具体来说，只需要预处理出部分总和数组 $s$，那么每次查询的时间复杂度就可以降低到 $O(1)$。

数组区间修改

有时候我们需要在序列中某个区间内的所有元素加上一个定值。如果直接遍历这个区间，每个元素都加上这个定值，时间复杂度是 $O(n)$。但是，如果使用部分总和来优化，只需要修改两个位置的值，就可以完成整个区间的修改。具体来说，假设要将序列的第 $l$ 个元素到第 $r$ 个元素加上 $x$，那么可以使用以下公式：

$$a_l \gets a_l + x$$

$$a_{r+1} \gets a_{r+1} - x$$

利用这个公式，只需要遍历 2 个位置，就可以将序列 $a$ 中所有处于区间 $[l,r]$ 内的元素加上 $x$。时间复杂度为 $O(1)$。

总结

部分总和是一个非常实用的数据结构，可以用来优化一些操作的时间复杂度。求部分总和可以使用动态规划的思想，而应用场景主要包括区间求和和数组区间修改两种。不过，部分总和也不是适用于所有场景的，需要具体问题具体分析。