部分分数展开

部分分数展开是数学中的一种技巧，可以将一个分数拆分成多个分数之和的形式，通常用于解决一些积分或求和问题。在计算机科学中，部分分数展开也是一种常用的技巧，可以用于求解某些算法的时间复杂度或空间复杂度等问题。

基本思路

假设有一个分数$$\frac{p(x)}{q(x)}$$，其中$p(x)$和$q(x)$为多项式。如果$q(x)$的某些根是重根，那么可以将分母$q(x)$分解为$$q(x)=(x-a)^kQ(x)$$其中$a$为重根，$k$为$a$的重数，$Q(x)$为去除$(x-a)^k$后的多项式。

则$p(x)$可以表示成$$p(x)=\sum_{i=1}^k\frac{p(a)}{(i-1)!}(x-a)^{i-1}+R(x)$$其中$R(x)$为余项，满足$R(a)=R'(a)=\cdots=R^{(k-1)}(a)=0$。

将分子$p(x)$拆分为多个分数的形式，得到$$\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a)^2}+\cdots+\frac{A_k}{(x-a)^k}+\frac{R(x)}{q(x)}$$其中$A_i=\frac{p(a)}{(i-1)!}$，$i=1,2,\cdots,k$。

由于$R(a)=R'(a)=\cdots=R^{(k-1)}(a)=0$，所以$R(x)$可以表示成$$R(x)=\frac{r_0}{(x-a)^k}+\frac{r_1}{(x-a)^{(k-1)}}+\cdots+\frac{r_{k-1}}{x-a}+R_0(x)$$其中$R_0(x)$为一个多项式，$\deg(R_0)<k-1$。

将余项$R(x)$带入上式，得到$$\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a)^2}+\cdots+\frac{A_k}{(x-a)^k}+\frac{r_0}{q(x)}+\frac{r_1}{(x-a)Q(x)}+\cdots+\frac{r_{k-1}}{(x-a)^{k-1}Q(x)}+\frac{R_0(x)}{q(x)}$$

其中$$\frac{r_i}{(x-a)^iQ(x)}=\frac{R^{(i)}(a)}{i!Q(a)}$$

将分数$\frac{p(x)}{q(x)}$展开成多个分数之和的形式，可以方便我们进行求和或积分操作。此外，当$q(x)$中存在重根时，部分分数展开也可以帮助我们简化某些复杂的算法分析问题。

实战应用

在计算机科学中，部分分数展开常常应用于算法复杂度的分析中。例如，在快速排序算法中，如果选取的枢纽元素是一个均匀随机的数，则每次划分的期望时间复杂度为$O(n)$。如果枢纽元素的选择不均匀，则会导致时间复杂度的增加。通过部分分数展开，可以计算出不均匀情况下的时间复杂度期望，有助于我们理解算法的性能表现。

代码演示

以下是部分分数展开的Python代码实现。

def partial_fraction(p, q):
    """Return partial fraction decomposition of p(x)/q(x)"""
    k, factors = q.roots(multiplicity=True)
    A = [p(a) / (i-1)! for a, i in zip(k, factors)]
    r = [p.deriv(i)(a) / (i! * q(a)) for a, i in zip(k, count(1))]
    R0 = p/q - sum(A[i]/(x-k[i])**i for i in range(len(k)))
    res = [A[i]/(x-k[i])**i for i in range(len(k))]
    for i in range(len(k)):
        for j in range(k[i] - 1):
            res.append(r[i]/(x-k[i])**(j+1) / q.truedivmonomial(k[i], j+1))
    res.append(R0)
    return res

其中，$p(x)$和$q(x)$分别为分子和分母的多项式表示，count函数为Python内置函数，用于生成自然数序列。roots方法返回$q(x)$的所有根，deriv方法是多项式求导的函数，truedivmonomial方法是多项式除以单项式的函数。