可在椭圆中刻出的最大矩形区域

问题描述

给定一个椭圆，求在其内部可以刻出的最大矩形面积。

解决方案

方法一：暴力枚举

最朴素的方法是枚举所有可能的矩形，然后判断其是否在椭圆内。这个判断可以通过求矩形的四个顶点到椭圆中心的距离来完成。

时间复杂度为 $O(n^4)$，无法通过本题。

方法二：动态规划

思路参考自LeetCode 0085. Maximal Rectangle。

对于矩形，我们可以把其看作由若干个连续的横条组成，每个横条可以延伸到最左和最右。因此，我们可以将问题转化为一个二维的柱状图，其中每个元素表示其上方的连续横条的高度。然后，对于每一行，我们可以将其转化为最大矩形的问题，通过动态规划解决。最后，取所有行的最大值即可。

时间复杂度为 $O(n^2)$。

方法三：解析几何

考虑椭圆的标准方程：$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$。

假设矩形的长和宽分别为 $w$ 和 $h$，其左下角坐标为 $(x, y)$，则矩形的四个顶点为 $(x,y), (x,y+h), (x+w,y), (x+w,y+h)$。

由于矩形不能超出椭圆，因此我们需要满足以下四个不等式：

$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2} \leq 1$

$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y+h-y_0)^2}{b^2} \leq 1$

$\frac{(x+w-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2} \leq 1$

$\frac{(x+w-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y+h-y_0)^2}{b^2} \leq 1$

不等式左右两边同乘以 $a^2b^2$，并整理合并，可得以下不等式：

$h^2(a^2-x^2+x_0^2)+w^2(b^2-y^2+y_0^2) \leq a^2b^2$

这个不等式可以看作一个二次函数，因此我们可以通过几何推导求出其最大值。具体地，我们可以将其转化为一个关于 $h$ 的一元二次不等式，然后求解其判别式，得到最大的 $h$ 值，再通过判断 $w$ 值是否合法，即可求得最大矩形面积。

时间复杂度为 $O(n)$。

代码实现

下面给出方法三的示例代码：

def max_rectangle_area(a, b):
    x0, y0 = 0, 0  # 椭圆中心坐标
    f = lambda x, y: (a**2-x**2+x0**2)*y**2 + (b**2-y**2+y0**2)*x**2 - a**2*b**2  # 不等式左侧的函数
    df = lambda x, y: [-2*x*y**2+2*(a**2-x**2+x0**2)*x, 2*(b**2-y**2+y0**2)*y-2*y*x**2]  # 函数的梯度

    def check(h, w):
        x, y = 0, h  # 左下角坐标为 (0,h)
        for _ in range(100):  # 迭代求解梯度下降
            dx, dy = df(x, y)
            step = min(0.5, f(x, y) / (dx**2 + dy**2))  # 步长限制在 0.5 以内
            x, y = x - step * dx, y - step * dy
        return abs(f(x, y)) < 1e-6 and 0 < x + w < 2*a and 0 < y-h < 2*b

    res = 0
    for h in range(1, 2*b+1):  # 枚举高度
        l, r = 1, 2*a  # 宽度的二分查找范围
        while l <= r:
            mid = (l + r) // 2
            if check(h, mid):
                res = max(res, h * mid)
                l = mid + 1
            else:
                r = mid - 1

    return res

注：此处实现的是在第一象限内的椭圆。如果椭圆位于其它象限，则需要对坐标进行变换。