给定范围 [L, R] 内不同普里莫纳奇数的计数

什么是普里莫纳奇数

普里莫纳奇数是指形如 $p=2^p-1$ 的质数，其中 $p$ 也为质数，比如 $3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61$ 等。普里莫纳奇数在密码学和计算机科学中有广泛的应用，例如 RSA 加密算法就是基于普里莫纳奇数的。

如何计算普里莫纳奇数

要计算普里莫纳奇数，我们可以使用普里莫纳测试（Primality Test），判断 $2^p-1$ 是否为质数。如果是，则 $2^p-1$ 就是一个普里莫纳奇数，否则它不是普里莫纳奇数。

普里莫纳测试可以用快速指数算法（Exponential Squaring）实现，时间复杂度为 $O(\log p)$。需要注意的是，当 $p>2^{64}$ 时，$2^p$ 无法用普通的数据类型来表示，需要用高精度计算库或模数运算来实现。

下面是一个使用 Python 语言实现普里莫纳测试的示例代码：

def is_prime(n):
    if n < 2:
        return False
    for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
        if n % i == 0:
            return False
    return True

def primality_test(p):
    if not is_prime(p):
        return False
    if not is_prime(2 ** p - 1):
        return False
    return True

如何计算给定范围内的普里莫纳奇数

要计算给定范围 $[L, R]$ 内不同的普里莫纳奇数的个数，我们可以依次检查 $L$ 到 $R$ 之间的每个 $p$ 是否为质数，再判断 $2^p-1$ 是否为质数。如果是，则将 $2^p-1$ 加入集合中并计数。最后返回集合的大小即可。

下面是一个使用 Python 语言实现计算给定范围内不同普里莫纳奇数个数的示例代码：

def count_primonacci(L, R):
    primes = set()
    for p in range(L, R+1):
        if is_prime(p) and is_prime(2 ** p - 1):
            primes.add(2 ** p - 1)
    return len(primes)

总结

普里莫纳奇数是一类特殊的质数，具有广泛的应用。计算给定范围内不同的普里莫纳奇数的个数可以通过普里莫纳测试来实现。