深度神经网络中的非线性边界

在深度学习中，神经网络是一种非常流行的模型，在分类和回归等问题中表现优异。其中，深度神经网络(DNN)是一种由多层神经元组成的模型，其中每层神经元都可以学习和提取数据的不同特征，从而实现更高级的抽象和表示。

然而，浅层神经网络的缺点是其不能处理非线性边界，也就是说，只能学习具有线性可分性质的数据关系。这种数据通常是通过将特征映射到高维空间中来进行线性划分的。

在深度神经网络中，由于隐藏层的数量增加，每层中非线性激活函数的使用可将输入空间分割成更复杂的子区域。换句话说，DNN 可以比浅层神经网络捕捉到更高维的结构。

举个例子，考虑下面的 XOR 问题，其中数据点不能在一个平面上线性分割。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成数据
X = np.array([[0, 0], [0, 1], [1, 0], [1, 1]])
y = np.array([0, 1, 1, 0])

# 绘制数据
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y)
plt.xlabel('x1')
plt.ylabel('x2')
plt.show()

可以看出，这些数据不能通过一个简单的线性分类器来分割。因此，我们需要一种更复杂的方法创建分类器。对于这个问题，我们可以使用一个非常简单的深度神经网络，其中有一个含有两个神经元的隐藏层。此外，我们将ReLU作为隐藏层的激活函数，将sigmoid用于输出层。

import tensorflow as tf

# 构建模型
model = tf.keras.Sequential([
    tf.keras.layers.Dense(2, input_dim=2, activation='relu'),
    tf.keras.layers.Dense(1, activation='sigmoid')
])

# 编译模型
model.compile(loss='binary_crossentropy', optimizer='adam', metrics=['accuracy'])

# 训练模型
history = model.fit(X, y, epochs=1000, verbose=0)

# 绘制学习曲线
plt.plot(history.history['loss'])
plt.title('Learning Curve')
plt.ylabel('Loss')
plt.xlabel('Epoch')
plt.show()

现在我们来使用这个深度神经网络来训练 XOR 问题。我们可以看到，随着训练的进行，模型的损失逐渐减小。

接下来，我们可以预测 XOR 数据，并使用网格可视化来可视化分类决策边界。

# 生成网格数据
xx, yy = np.meshgrid(np.linspace(-0.1, 1.1, 100), np.linspace(-0.1, 1.1, 100))
Z = model.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
Z = Z.reshape(xx.shape)

# 绘制决策边界
plt.contourf(xx, yy, Z, levels=20, cmap=plt.cm.Blues_r)
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, cmap=plt.cm.Blues_r)
plt.xlabel('x1')
plt.ylabel('x2')
plt.show()

结果如下图所示，可以看到预测结果非常好，模型能够很好地区分不同的数据点。

因此，深度神经网络(DNN)是一种非常强大的模型，它可以用于学习非线性关系和更复杂的分类问题。神经网络的靠谱性能依赖于优秀的数据集和得到良好的结构化数据。