将数组拆分为一对子集的方法，它们的总和等于 K

在计算机科学中，问题“将数组拆分为一对子集的方法，它们的总和等于 K”是一个经典的集合问题，也称为背包问题。在这种问题中，我们需要在数组中找到所有可能的子集，它们的总和等于给定的特定值K。这个问题是一个NP完全问题，因此最好的方法是使用动态规划来解决。下面将介绍一些解决这个问题的方法。

方法一：暴力枚举

我们可以使用暴力枚举方法来解决这个问题。在这种方法中，我们可以列举出所有可能的子集，在每个子集中计算它们的总和，如果它们的总和等于K，则将它们添加到一个列表中。代码如下：

def subset_sum(array, target):
    res = []
    for i in range(1 << len(array)):
        s = sum(array[j] for j in range(len(array)) if i & (1 << j))
        if s == target:
            res.append(set(array[j] for j in range(len(array)) if i & (1 << j)))
    return res

上面的代码中，我们使用了位运算符来计算子集的总和。

方法二：使用动态规划

动态规划是解决背包问题最常见的方法之一。在这种方法中，我们可以使用一个二维数组来保存计算过的子集的总和。我们可以使用以下递归关系来填充这个数组：

$$s(i, j) = s(i-1, j) \ or\ s(i, j-arr[i]),\ where\ j \ge arr[i] $$

代码如下：

def subset_sum(array, target):
    if not array: return []
    n = len(array)
    dp = [[False] * (target + 1) for _ in range(n + 1)]

    for i in range(n + 1):
        dp[i][0] = True

    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, target + 1):
            if j < array[i - 1]:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j]
            else:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] or dp[i - 1][j - array[i - 1]]

    res = []
    if dp[n][target]:
        i, j = n, target
        while j > 0 and i > 0:
            if dp[i - 1][j]:
                i -= 1
            elif dp[i - 1][j - array[i - 1]]:
                res.append(array[i - 1])
                j -= array[i - 1]
                i -= 1
    return res

上面的代码中，我们首先初始化了一个$ (n+1)\times(target+1)$的动态规划数组，其中第一列都被设为True。我们然后遍历数组并更新使用递推式确定的状态。最后，我们可以恢复一个子集，它们的总和等于特定值K。

结论

这里介绍了两种常用的方法，用于将数组拆分为一对子集的方法，它们的总和等于给定的特定值K。虽然暴力枚举方法在小数据集上效率较高，但动态规划方法适用于具有大数据集的问题。