乘积为唯一素数倍数的子集计数

介绍

在计算机科学中，给定一个整数集合，计算其中乘积为唯一素数倍数的子集数量是一个广泛研究的问题。 该问题在数学和计算机科学中都有广泛的应用，例如密码学、组合数学和计算几何。

实现思路

为了计算乘积为唯一素数倍数的子集数量，我们可以使用一种基于动态规划算法的方法。

设f(i,p)表示前i个数字中乘积为素数p的子集的数量。

则对于第i个数，我们存在两种情况：

• 第i个数不参与乘积，即f(i,p)=f(i-1,p)；
• 第i个数参与乘积，即f(i,p)=f(i-1,p/a[i])，其中a[i]表示第i个数。

综上所述，我们可以得到状态转移方程：

f(i,p) = f(i-1,p) + f(i-1,p/a[i])

在实现过程中，我们需要首先预处理出所有的素数，然后依次遍历数字集合，计算出所有乘积为素数倍数的子集数量，最后返回最终结果。

Python代码实现

def count_subsets(arr):
    PRIMES = [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97]
    n = len(arr)
    f = [[0] * len(PRIMES) for _ in range(n+1)]
    f[0][0] = 1
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(len(PRIMES)):
            f[i][j] = f[i-1][j] + (f[i-1][j//arr[i-1]] if j % arr[i-1] == 0 else 0)
    return f[-1][-1]

print(count_subsets([2,3,5]))

总结

本文介绍了乘积为唯一素数倍数的子集计数的实现思路，并给出了Python代码实现。该问题在计算机科学中具有广泛的应用，我们可以通过动态规划算法来解决。