几何破折号

几何破折号是一种在TeX排版系统中常用的数学符号，也被称为向量点乘符号。它的原型是一个上下分别为点和线段的图形，表示点与线段的关系，意义是两个向量之间的点积（内积）。

计算点积

设$ \mathbf{u} = \begin{bmatrix} a \ b \end{bmatrix}$和$ \mathbf{v} = \begin{bmatrix} c \ d \end{bmatrix}$为二维向量，则两向量的点积为：

$$ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \begin{bmatrix} a \ b \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} c \ d \end{bmatrix} = ac + bd $$

对于三维向量$ \mathbf{u} = \begin{bmatrix} a \ b \ c \end{bmatrix}$和$ \mathbf{v} = \begin{bmatrix} d \ e \ f \end{bmatrix}$，它们的点积为：

$$ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \begin{bmatrix} a \ b \ c\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} d \ e \ f \end{bmatrix} = ad +be +cf $$

点积还有以下几条性质：

• 交换律：$ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v} \cdot \mathbf{u} $
• 分配律：$ (\mathbf{u} + \mathbf{v}) \cdot \mathbf{w} = \mathbf{u} \cdot \mathbf{w} + \mathbf{v} \cdot \mathbf{w} $
• 数乘结合律：$ k(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) = (k\mathbf{u}) \cdot \mathbf{v} = \mathbf{u} \cdot (k \mathbf{v}) $

TeX代码

使用LaTeX排版系统时，可以通过\cdot命令来插入几何破折号符号。例如，输入命令：

$$ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix} = ac + bd $$ 

可以得到如下公式:

$$ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \begin{bmatrix} a \ b \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} c \ d \end{bmatrix} = ac + bd $$

结论

通过以上讲解，我们知道了几何破折号的计算方法和性质，以及在LaTeX中插入该符号的方法。它在向量计算中被广泛使用，因此了解它的含义和用法对于程序员来说是非常重要的。