查找可以由M个元音和N个辅音形成的X个元音和Y个辅音的单词数

问题描述

给定M, N, X, Y四个非负整数，代表原有字符串中元音和辅音的数量和要求生成字符串中元音和辅音的数量，问能够生成多少个不同的字符串。其中原有字符串可以是任意长度的字符串，且含有任意数量的元音和辅音。

解决方案

方法一

我们可以枚举原有字符串中元音和辅音的组合方式，并计算生成新字符串的组合方式，统计可行的组合数。这个方法的时间复杂度很高，大约是 O((M+N) ^ 2 * (X+Y))，无法处理较大的数据，因此不建议使用。

方法二

我们注意到，要生成的字符串中每个字符是由原有字符串中的字符组成。因此我们只需关注原有字符串中每个字符在生成新字符串时会被用几次。设 M1 和 N1 分别表示原有字符串中哪个元音和辅音被使用的次数，则对于任意一个满足 M1 <= X 且 N1 <= Y 的组合 (M1, N1)，其对应的字符串数量为：

C(M, M1) * C(N, N1) * C(X, M1) * C(Y, N1)

其中 C(a, b) 表示从 a 个物品中选出 b 个物品的组合数。上式中, 第一项是从原有字符串中选出 M1 个元音的方案数，第二项是从原有字符串中选出 N1 个辅音的方案数，第三项是从 X 个位置中选择 M1 个位置用于放置选出的元音的方案数，第四项同理。

可对每个满足要求的组合 (M1, N1) 计算对应的字符串数量并求和得到答案。时间复杂度为 O((M+1) * (N+1) * (X+1) * (Y+1))，可以处理较大的数据。

代码实现

def count_words(M: int, N: int, X: int, Y: int) -> int:
    """统计能够由 M 个元音和 N 个辅音生成的 X 个元音和 Y 个辅音的单词数"""
    ans = 0
    for m1 in range(min(M, X) + 1):
        for n1 in range(min(N, Y) + 1):
            if m1 + n1 != X + Y:
                continue
            ans += comb(M, m1) * comb(N, n1) * comb(X, m1) * comb(Y, n1)
    return ans

其中 comb 函数的实现：

from math import comb

# 为了兼容 Python < 3.8
def comb(n: int, k: int) -> int:
    return math.factorial(n) // (math.factorial(k) * math.factorial(n - k))

结论

本文介绍了两种解决本问题的方法，并给出了 Python 代码实现。通过对原有字符串中每个字符的使用次数进行枚举，可以高效地统计能够由指定数量的元音和辅音组成的字符串数量。