将数组拆分为两个子数组，以使它们的和之差最小

问题描述

给定一个整数数组，将其划分为两个子数组，使得这两个子数组的元素之和尽可能接近，即它们的差最小。返回这个差的绝对值。

解决方案

这是一道经典的动态规划问题。假设有一个整数数组 $nums$，我们可以定义一个二维数组 $dp$ 来存储状态。其中 $dp[i][j]$ 表示将 $nums$ 中前 $i$ 个数划分为两个子数组，使得它们的和之差最小的绝对值为 $j$ 时，其中一个子数组的和。

初始化状态时，如果 $nums[0]$ 的值小于等于目标值 $j$，则 $dp[0][j]=nums[0]$，否则 $dp[0][j]=0$。

对于 $i>0$ 且 $j>0$ 的情况，我们有以下两种选择：

1. 将 $nums[i]$ 包含在第一个子数组中，则有 $dp[i][j]=dp[i-1][j-nums[i]]$。
2. 将 $nums[i]$ 包含在第二个子数组中，则有 $dp[i][j]=dp[i-1][j]+nums[i]$。

因此，当两种情况都满足时，有 $dp[i][j]=\min(dp[i-1][j-nums[i]],dp[i-1][j]+nums[i])$；否则，有 $dp[i][j]=dp[i-1][j-nums[i]]$ 或 $dp[i][j]=dp[i-1][j]+nums[i]$。

最终，我们只需遍历 $dp[n-1]$，找到最小的 $j$，使得 $dp[n-1][j]$ 不为 $0$，即可得到最小的差值。

以下是基于 Python 的实现代码：

def min_diff(nums):
    n = len(nums)
    s = sum(nums)
    m = s // 2  # 目标值
    dp = [[0] * (m + 1) for _ in range(n)]
    for j in range(m + 1):
        if nums[0] <= j:
            dp[0][j] = nums[0]
    for i in range(1, n):
        for j in range(1, m + 1):
            if nums[i] <= j:
                dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - nums[i]], dp[i - 1][j] + nums[i])
            else:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - nums[i]]
    j = m
    while j >= 0 and dp[n - 1][j] == 0:
        j -= 1
    return s - 2 * dp[n - 1][j]

该算法的时间复杂度为 $O(nm)$，空间复杂度为 $O(nm)$，其中 $n$ 是数组长度，$m$ 是数组元素之和的一半。值得注意的是，由于数组元素之和可能为奇数，所以目标值需要 $//2$ 取整。