将数组拆分为两个子数组，使它们的最大值之差最小

在有些问题中，我们需要将一个大数组拆分为两个子数组，使得这两个子数组的最大值之差最小。最经典的例子就是在赛车比赛中给每辆车分配一些加油站，使得每辆车在相邻加油站的油量之差最小。这种问题可以采用二分法进行求解。

思路

1. 首先对数组中的数进行排序。
2. 确定二分的上下界。上界为数组所有元素的和，上界为数组最大值。
3. 在上下界中二分查找出最小的差值mid。
4. 遍历一遍数组，将数组中的元素逐个加起来。如果当前子数组的和大于mid，则将该元素归为另一个子数组。
5. 如果这样拆分出的两个子数组的数量大于2，则表示mid偏小，需要往大处继续二分。
6. 如果这样拆分出的两个子数组的数量不大于2，则表示mid偏大，需要往小处继续二分。
7. 最后得到的差值即为最小的最大值之差。

代码实现

def split_array(nums):
    def count(mid):
        """
        在拆分过程中判断是否可行
        """
        cnt = 1
        cur_sum = 0
        for num in nums:
            cur_sum += num
            if cur_sum > mid:
                cnt += 1
                cur_sum = num
        return cnt <= m

    nums.sort()
    n = len(nums)
    left = nums[-1]    # 上下界
    right = sum(nums)  
    while left < right:
        mid = left + (right - left) // 2
        if count(mid):
            right = mid
        else:
            left = mid + 1
    
    res = []
    i, j = 0, n-1
    cur_sum1, cur_sum2 = 0, 0
    while i <= j:
        x, y = nums[i], nums[j]
        if cur_sum1 + x <= left and count(left-cur_sum1-x, False):
            cur_sum1 += x
            i += 1
        else:
            cur_sum2 += y
            j -= 1
    
    res.append(nums[:i])
    res.append(nums[i:])

    return abs(cur_sum1 - cur_sum2), res  

该函数中使用二分法确定最小的最大值之差mid，然后按照mid的大小拆分数组，最后得到的差值即为最小的最大值之差。其中，函数count用于判断拆分是否可行。如果在拆分过程中已经使用完所有子数组，则计数超过上界m，说明该拆分方式不可行；否则，说明该拆分方式可行。函数参数flag用于指定是否判断当前子数组的下一个元素是否可以归于该子数组。

结论

通过二分法求得最小的最大值之差，可以将数组有效地分成两部分，分别处理子问题。这种算法减少了不必要的计算，所以比暴力算法具有更好的时间复杂度。

参考资料

• 《算法竞赛入门经典》