计算两个数组中以算术级数表示的公共元素

本文介绍一种算法，用来计算两个数组中以算术级数表示的公共元素。算法的时间复杂度为 $O(n)$ ，其中 $n$ 为两个数组中元素的总数。

思路

假设一个数组为 $A$ ，另一个数组为 $B$ ，它们是以算术级数形式存在的。又假设它们的公共首项为 $a$ ，公共公差为 $d$ ，则有：

$$ A=a,a+d,a+2d,\cdots,a+(m-1)d $$ $$ B=a,a+d,a+2d,\cdots,a+(n-1)d $$

其中 $m$ 和 $n$ 分别为数组 $A$ 和 $B$ 的长度。

我们可以确定一个范围，其中包含了数组 $A$ 和数组 $B$ 中所有可能的公共元素。通过逐项比较数组 $A$ 和数组 $B$ 中的元素，我们可以找到它们中的公共项。

具体的，我们可以先计算出数组 $A$ 和数组 $B$ 中的最小值和最大值，然后检查这个范围内的每个值是否存在于数组 $A$ 和数组 $B$ 中，若同时存在，则为公共项。这个过程可以用两个指针实现，初始时指向数组的首项，每次循环后递增，直到范围内所有元素都被检查完。

代码实现

使用 Python 实现上述思路的代码如下：

def find_common_elements(A, B):
    a, b = min(A[0], B[0]), max(A[-1], B[-1])
    res = []
    i, j = 0, 0
    for k in range(a, b + 1):
        while i < len(A) and A[i] < k:
            i += 1
        while j < len(B) and B[j] < k:
            j += 1
        if i < len(A) and A[i] == k and j < len(B) and B[j] == k:
            res.append(k)
    return res

示例

假设需要找到两个数组 $A$ 和 $B$ 中的公共元素，其中 $A$ 为 $1, 3, 5, 7, 9$ ，而 $B$ 为 $3, 6, 9, 12, 15$ 。则它们的公共元素为 $3$ 和 $9$ ，用上述代码实现：

A = [1, 3, 5, 7, 9]
B = [3, 6, 9, 12, 15]
res = find_common_elements(A, B)
print(res)

输出结果为：

[3, 9]

总结

上述算法可以高效地计算两个以算术级数形式存在的数组中的公共元素。它的时间复杂度为 $O(n)$ ，其中 $n$ 为两个数组中元素的总数。