回文子串计数

给定一个字符串，计算在给定索引范围内的所有回文子字符串的数量。

解法

回文串的特点是以当前某个字符为中心的字符串相等，或者以当前字符和它的下一个字符为中心的字符串相等。如“abbd”中，“b”是以它自己为中心的回文串，“bb”是以“b”和“b”为中心的回文串。所以我们可以通过这个性质来求解回文子串的数量。

具体做法是，以每个字符为中心向两边扩展，判断是否为回文串。为了考虑回文串长度为奇数和偶数的情况，我们需要分别以每个字符和每两个字符的组合为中心进行扩展。由于中心的数量是字符串长度的两倍减一，所以总的时间复杂度为 $O(n^2)$。

具体实现可以参考以下代码：

class Solution(object):
    def countSubstrings(self, s, left, right):
        """
        :type s: str
        :type left: int
        :type right: int
        :rtype: int
        """
        count = 0
        for i in range(len(s) * 2 - 1):
            l = i / 2
            r = i / 2 + i % 2

            while l >= left and r <= right and s[l] == s[r]:
                count += 1
                l -= 1
                r += 1

        return count

其中，$s$ 表示字符串，$left$ 和 $right$ 分别表示索引范围的左右边界。我们用 $count$ 变量来记录回文子串的数量。在循环中，我们以每个字符和每两个字符的组合为中心进行扩展，判断是否为回文串。如果是，就将 $count$ 变量加一。

总结

回文串问题是比较常见的字符串问题，可以用于解决很多实际中的问题。在这个问题中，我们通过从中心向两边扩展的方式，来对回文子串进行计数。此方法的时间复杂度为 $O(n^2)$，但是实际上可以通过 Manacher 算法等方法，将时间复杂度降至 $O(n)$，可以进一步优化。