计算给定数字序列的可能解码 | 2套

本文将介绍如何计算给定数字序列的可能解码。

问题描述

给定一个仅包含数字的字符串，编写一个函数来计算其可能的解码方法。即给定的数字序列可以被解码成字母序列的数量。

以下是几个例子：

输入: "12"
输出: 2
解释: 它可以被解码为 "AB"（1 2）或 "L"（12）。

输入: "226"
输出: 3
解释: 它可以被解码为 "BZ"（2 26），"VF"（22 6），或 "BBF"（2 2 6）。

注意：

1. 数字序列可能包含的数字的范围为 [1, 26]。
2. 前导零也会被视为有效的数字。

解法1：递归

我们可以使用递归来解决这个问题。具体来说，假设字符串为 s，它的长度为 n。我们可以考虑递归的方式找出 s 可以被解码成的字母序列的数量。

我们定义一个函数 decode(s: str) -> int，表示字符串 s 可以被解码成的字母序列的数量。它的递归结束条件是：

1. 当 s 的长度为 0 时，返回 1。
2. 当 s 的第一个字符为 '0' 时，返回 0。

否则，我们需要考虑两种情况：

1. 第一个字符可以被解码成单个字母，例如 s 的第一个字符为 '1'，'2'，...，'9'。此时，我们将第一个字符从 s 中删除，将问题的规模缩小为求解 decode(s[1:])。
2. 第一个字符可以和第二个字符一起被解码成一个字母，例如 s 的前两个字符为 '10'，'11'，...，'26'。此时，我们将前两个字符从 s 中删除，将问题的规模缩小为求解 decode(s[2:])。

最后，我们将以上两种情况的解码数量相加，就可以得到字符串 s 可以被解码成的字母序列的数量。

下面是对应的 Python 代码：

def decode(s: str) -> int:
    n = len(s)
    if n == 0:
        return 1
    if s[0] == '0':
        return 0
    ans = decode(s[1:])
    if n >= 2 and int(s[:2]) <= 26:
        ans += decode(s[2:])
    return ans

解法2：动态规划

我们也可以使用动态规划来解决这个问题。具体来说，假设字符串为 s，它的长度为 n。我们可以使用动态规划的方式求解，其中 dp[i] 表示 s 的前 i 个字符可以被解码成的字母序列的数量。

我们初始化 dp[0] = 1，表示空串可以被解码成一个字母序列。从而，对于 i >= 1，可以根据 s[i-1] 和 s[i-2]（如果存在）的情况分别转移得到 dp[i] 的值，具体如下：

1. 当 s[i-1] 可以被解码成单个字母时，即 s[i-1] 为 '1'，'2'，...，'9' 时，我们可以单独把 s[i-1] 解码成一个字母，此时 dp[i] 可以从 dp[i-1] 转移而来。
2. 当 s[i-2:i] 可以一起被解码成一个字母时，即 s[i-2:i] 为 '10'，'11'，...，'26' 时，我们可以把 s[i-2:i] 一起解码成一个字母，此时 dp[i] 可以从 dp[i-2] 转移而来。

最终，根据 dp[n] 的值，就可以得到字符串 s 可以被解码成的字母序列的数量。

下面是对应的 Python 代码：

def numDecodings(s: str) -> int:
    n = len(s)
    dp = [0] * (n + 1)
    dp[0] = 1
    for i in range(1, n + 1):
        if s[i-1] != '0':
            dp[i] += dp[i-1]
        if i >= 2 and int(s[i-2:i]) >= 10 and int(s[i-2:i]) <= 26:
            dp[i] += dp[i-2]
    return dp[n]

总结

本文介绍了如何计算给定数字序列的可能解码，提供了两种解法：递归和动态规划。递归是一种基础的解法，易于理解，但是时间复杂度较高。动态规划是一种高效的解法，将递归转化为了自底向上的状态转移，从而优化了时间复杂度。在实际应用中，我们应该根据具体情况选择最佳的解法。