迭代段树(带有节点更新的范围最大查询)

迭代段树是一种特殊的数据结构，它可以用于动态维护区间信息。在迭代段树中，每个节点表示一段区间，根节点表示整个区间，叶子节点表示单个元素。

迭代段树和传统的线段树和树状数组不同之处在于，它是一种滚动更新的数据结构。具体来说，迭代段树不会像线段树和树状数组那样递归地更新每个节点，而是通过遍历当前节点的所有子节点来更新节点的值。

在这篇介绍中，我们将实现一种迭代段树，它支持节点的单点更新和范围查询。我们将使用 Python 语言编写。（代码示例中使用了类，所以只适用于 Python 3）

实现

首先，我们定义一棵树节点。每个节点包含一个值 $val$ 和一个区间范围 $[l,r]$。

class Node:
    def __init__(self, l, r):
        self.val = 0
        self.l = l
        self.r = r

接下来，我们定义一个类来表示迭代段树。里面有两个方法：$update$ 和 $query$。$update$ 方法用于更新单个节点的值，$query$ 方法用于在整个树中查找最大值。

class IterativeSegmentTree:
    def __init__(self, arr):
        self.N = len(arr)
        self.nodes = [Node(0, self.N - 1) for _ in range(self.N)]
        for i in range(self.N):
            self.nodes[i].val = arr[i]
    
    def update(self, i, val):
        node = self.nodes[i]
        node.val = val
        while node:
            node.val = max(node.val, val)
            if node.l == node.r:
                break
            mid = (node.l + node.r) // 2
            if i <= mid:
                node = node.left if hasattr(node, 'left') else setattr(node, 'left', Node(node.l, mid))
            else:
                node = node.right if hasattr(node, 'right') else setattr(node, 'right', Node(mid + 1, node.r))
    
    def query(self, l, r):
        ans = 0
        stack = [self.nodes[0]]
        while stack:
            node = stack.pop()
            if node.val <= ans or node.r < l or node.l > r:
                continue
            if node.l >= l and node.r <= r:
                ans = node.val
                continue
            stack.append(node.left if hasattr(node, 'left') else setattr(node, 'left', Node(node.l, (node.l + node.r) // 2)))
            stack.append(node.right if hasattr(node, 'right') else setattr(node, 'right', Node((node.l + node.r) // 2 + 1, node.r)))
        return ans

迭代段树的更新操作类似于传统的线段树，但是它不是通过递归来更新节点，而是通过遍历当前节点的所有子节点来更新节点的值。这个过程可以使用一个 while 循环来完成。

具体来说，当我们需要更新节点 $i$ 的值时，我们首先将节点 $i$ 的值更新为新值 $val$。然后，我们从节点 $i$ 开始往上遍历，更新每个节点的值。具体来说，如果当前节点的左边界 $l$ 和右边界 $r$ 完全覆盖了 $i$，我们就停止更新该节点和其祖先节点的值，因为这些节点的值已经包含了 $i$ 节点的值。否则，我们就将节点划分成两个子节点，分别是 $[l,mid]$ 和 $[mid+1,r]$。如果 $i$ 落在第一个子节点的区间内，我们就继续向下遍历左子节点，否则我们就继续向下遍历右子节点。

迭代段树的查询操作比较简单。我们使用一个栈来保存待遍历的节点。初始时，我们将整个树的根节点放入栈中。接着，我们循环处理栈中的节点，每次弹出一个节点，并判断该节点是否应该被处理。如果该节点的值小于等于当前的结果 $ans$，或者该节点的区间范围和查询区间不相交，我们就跳过该节点。否则，如果该节点的区间范围完全包含查询区间 $[l,r]$，我们就将该节点的值更新到 $ans$ 中。否则，我们将该节点拆分成两个子节点，并继续向下遍历。这个过程结束后，$ans$ 中就保存了区间 $[l,r]$ 的最大值。

总结

迭代段树是一种高效而灵活的数据结构，它可以用于各种动态维护区间信息的场合。在实现迭代段树时，我们需要注意遍历节点的顺序，以及节点的更新操作。如果能够合理利用迭代段树，不仅可以大幅提升代码的效率，还可以使代码更加简洁易懂。