数组中所有自然数的适当除数的总和

在编程中，我们经常需要计算一个数的除数，并将所有除数相加得到总和。这是一个常见的问题，但如果要快速高效地解决它，有很多技巧和技术可以使用。

解决方法

方法一: 暴力枚举

最朴素的解决方法是对每一个数进行一个循环，求出它的所有除数，并将它们相加起来。我们可以用以下的代码来实现：

def sum_of_all_divisors(n):
    total = 0
    for i in range(1, n + 1):
        if n % i == 0:
            total += i
    return total

这段代码的时间复杂度是 O(n)，它的效率并不高。

方法二: 分解质因数

我们可以使用分解质因数的方法，将每个数都分解为质数的乘积，然后计算所有因子的组合个数，并将它们相加得到总和。在这个方法中，我们可以使用以下的代码：

def sum_of_all_divisors(n):
    total = 1
    i = 2
    while i * i <= n:
        count = 0
        while n % i == 0:
            count += 1
            n //= i
        total *= (i ** (count + 1) - 1) // (i - 1)
        i += 1 if i == 2 else 2
    if n > 1:
        total *= (n + 1)
    return total

在这段代码中，我们首先用一个 while 循环找到每个质数 i，然后计算它的幂次数，最后将它们相乘得到因子个数。这个算法的时间复杂度是 O(n^(1/2))，它的效率要比暴力枚举高得多。

总结

在编写代码时，我们需要选择合适的解决方法来解决一个问题。对于这个问题，我们可以使用暴力枚举或分解质因数的方法。当然，在实际的应用中，我们还可以使用其他的方法来解决这个问题，比如欧拉筛法等等。