计数方法来选择 N 对不同颜色的糖果（动态编程 + 位掩码）

问题概述

你有一些不同颜色的糖果，你需要选择 N 对糖果，使得每一对都有不同的颜色。问有多少种选择方法？

解决方法

这是一个经典的动态规划问题。我们可以使用位掩码来表示糖果的颜色，如果某个位上是 1，说明这个糖果的颜色被选择了，否则是 0。比如，一个三个位置的位掩码 010 表示选择了第二个糖果而第一和第三个糖果没有被选择。

对于这个问题，我们可以使用一个二维的数组 count，其中 count[i][mask] 表示在前 i 种糖果中选择 N 对糖果，并且当前选择的糖果的位掩码为 mask 时，有多少种选择方法。其中 i 的取值范围为 1 到糖果的总数，mask 的取值范围为 0 到 2 的糖果总数次方减 1，即 0 到 2^n-1，n 是糖果的总数。

初值为 count[0][0]=1，表示没有任何糖果时有一种选择方法，其余值初始化为 0。我们需要计算出 count[n][mask]，其中 n 是糖果的总数。计算 count[n][mask] 时，我们需要分两种情况讨论：

1. mask 中 1 的个数等于 2 的个数，也就是说所有选中的糖果都没有被选择过。这种情况下，我们需要选择一个糖果并将其设置为已选择，然后递归计算 count[n-1][new_mask]，其中 new_mask 是 mask 的第一个 0 位设置为 1 后得到的新掩码。最后，我们将所有递归计算出的 count[n-1][new_mask] 相加即可得到 count[n][mask] 的值。
2. mask 中 1 的个数小于 2 的个数，也就是说当前已经选了一些糖果，我们需要选择另外一个糖果使得它们颜色不同。我们可以枚举最后一个选择的糖果的颜色，假设其颜色对应的位置是 c，那么我们可以选择 mask 中的任意一个颜色为 c 的糖果，然后递归计算 count[n-1][new_mask]，其中 new_mask 是 mask 在 c 这个位置上清零后得到的新掩码。最后，我们将所有递归计算出的 count[n-1][new_mask] 相加即可得到 count[n][mask] 的值。

最终，count[n][(1<<n)-1] 就是我们要求的答案。

代码实现

def count_pairs(n, candies):
    count = [[0]*(1<<n) for _ in range(n+1)]
    count[0][0] = 1

    for i in range(1, n+1):
        for mask in range(1<<n):
            num_ones = bin(mask).count('1')
            if num_ones == 1:
                j = 0
                while mask & (1<<j) == 0:
                    j += 1
                new_mask = mask ^ (1<<j)
                for k in range(n):
                    if candies[k][j] == 1:
                        count[i][mask] += count[i-1][new_mask|(1<<k)]
            else:
                for j in range(n):
                    if mask & (1<<j):
                        new_mask = mask ^ (1<<j)
                        for k in range(n):
                            if candies[k][j] == 1 and (new_mask & (1<<k)):
                                count[i][mask] += count[i-1][new_mask|(1<<k)]

    return count[n][(1<<n)-1]

该代码的时间复杂度为 O(n^2*2^n)，其中 n 是糖果的总数。但是，我们可以发现，很多 count[i][mask] 的值是重复计算的，因此可以使用记忆化搜索或者 DP 优化来降低时间复杂度。