计数数组中的对，其 AND 和 XOR 的总和等于 K

问题描述

对于一个整数数组，定义“对”为数组中的任意两个不同下标的元素。找到数组中所有“对”，使得它们的按位 AND 和按位 XOR 的结果之和等于给定的整数 K。例如，数组 [1, 2, 3, 4, 5]，K = 7，有两个满足要求的“对”：[1, 3] 和 [2, 5]。

解题思路

考虑如何计算两个数的按位 AND 和按位 XOR。对于两个二进制数，它们在某一位上的 AND 和 XOR 的结果分别为：

• AND：两个数在该位都为 1，结果为 1，否则为 0。
• XOR：两个数在该位上不同，结果为 1，否则为 0。

这启示我们考虑对整个数组进行位运算，而不是每对数字单独计算。

具体来说，计算所有数字的按位 AND 和按位 XOR 的结果，并将位运算结果分别存储在两个数组中。然后遍历所有“对”，将它们的按位 AND 和按位 XOR 的结果之和进行累加，最后判断是否等于给定的整数 K。

在计算两个数字的按位 AND 时，如果两个数字的某一位都为 0，则它们的按位 AND 的结果必然也为 0。因此，在计算按位 AND 时，我们可以跳过一些数字，以减少计算量。

在计算两个数字的按位 XOR 时，如果两个数字的某一位不同，则它们的按位 XOR 的结果为 1。因此，在计算按位 XOR 时，我们可以记录两个数字在某一位上的差异情况，并统计不同情况的个数。这可以通过使用哈希表来实现。

时间复杂度为 O(n)，其中 n 为数组长度。

代码实现

from collections import defaultdict

def count_pairs(arr, k):
    bit_count = [defaultdict(int) for _ in range(32)]
    
    for num in arr:
        for i in range(32):
            bit_count[i][(num >> i) & 1] += 1
            
    result = 0
    for num in arr:
        and_sum = 0
        xor_sum = 0
        for i in range(32):
            bit = (num >> i) & 1
            and_sum += bit_count[i][1] * bit
            xor_sum += bit_count[i][1] * bit if ((k >> i) & 1) == 1 else bit_count[i][0] * bit
        
        result += and_sum * ((k ^ num) ^ num)
        result += xor_sum * ((k & num) ^ num)
    
    return result // 2

代码中使用了一个长度为 32 的列表 bit_count 来记录所有数字在每一位上的出现次数。其中，bit_count[i][0] 表示所有数字在第 i 位上为 0 的个数，bit_count[i][1] 表示所有数字在第 i 位上为 1 的个数。

然后遍历数组中的每个数字 num，并计算出它和其他数字的按位 AND 和按位 XOR 的结果。具体来说，对于每一位 i，如果 num 在该位上为 0，那么它与其他数字的按位 AND 的结果必然为 0，因此我们可以跳过这些数字；否则，我们需要计算其中所有数字在该位上为 1 的个数，并将其累加到按位 AND 的结果中。对于按位 XOR，我们可以统计所有数字在该位上与 k 的差异情况，并分别计算它们的个数。具体来说，如果 num 在该位上为 1，那么我们需要统计所有与 num 不同的数字在该位上为 1 的个数，以及所有与 num 相同的数字在该位上为 0 的个数；否则，我们需要统计所有与 num 不同的数字在该位上为 0 的个数，以及所有与 num 相同的数字在该位上为 1 的个数。

最后，将所有“对”的按位 AND 和按位 XOR 的结果之和进行累加，并返回结果除以 2，即可得到答案。

参考资料

• 计数数组中的对，其 AND 和 XOR 的总和等于 K