长度至少为 2 的所有子阵列的最小 LCM

考虑一个长度为 n 的数组 arr，其子阵列指的是从 arr 中选两个元素或更多元素形成的子序列。我们可以枚举每个子阵列并找到它们的最小公倍数（LCM），然后取所有 LCM 中的最小值即可。

算法实现

下面是一个可用于求解长度至少为 2 的所有子阵列的最小 LCM 的 Python 代码：

from math import gcd
from functools import reduce

def LCM(nums):
    def lcm(a, b):
        return a * b // gcd(a, b)
    return reduce(lcm, nums)

def minSubArrayLCM(arr):
    n = len(arr)
    ans = float('inf')
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            ans = min(ans, LCM(arr[i:j+1]))
    return ans

首先我们定义了一个 LCM 函数，用于计算一个数组 nums 中所有元素的最小公倍数。该函数利用了 reduce 函数来累计计算一系列元素的乘积，这是计算最小公倍数的典型方法。

然后我们定义了 minSubArrayLCM 函数，它接受一个数组 arr，返回长度至少为 2 的所有子阵列的最小 LCM。我们使用双重循环枚举所有子阵列，并计算它们的 LCM，并不断更新 ans 变量以维护最小值。

时间复杂度

该算法的时间复杂度为 O(n^3 logn)，其中 n 是数组 arr 的长度。由于我们需要枚举所有长度至少为 2 的子阵列，这需要 O(n^2) 的时间，而计算一个数组的 LCM 需要 O(logn) 的时间。因此总时间复杂度为 O(n^3 logn)。

进一步优化

该算法的时间复杂度比较高，因此我们可能需要进一步优化。一种优化方法是使用 sqrt 分治算法，将枚举子阵列的时间复杂度降为 O(n^2 sqrt{n})，时间复杂度为 O(n^2 sqrt{n} logn)。实现细节较多，此处不再赘述。

另一种优化方法是使用可持久化线段树来维护数组 arr 的所有子区间（非严格，即长度至少为 1），并预处理每个子区间的 LCM。这样就可以将查询长度至少为 2 的子阵列的最小 LCM 的时间复杂度降为 O(log^3 n)。而构建线段树的时间复杂度为 O(n log n)。