构造一个具有恰好K个子序列的字符串

有一个字符串，我们需要构造一个新的字符串，使其具有恰好K个子序列。子序列是连续的字符序列，可以是原始字符串中任何连续的一段字符。比如字符串 "hello" 有15个子序列：(h, e, l, l, o, he, hel, hell, hello, el, ell, ello, ll, lo, o)。

思路

我们可以通过一些简单的规则来构造一个新的字符串，使其具有恰好K个子序列。假设我们要构造的字符串为s。

1. 只包含一个字符x，s = xx...x（s中有K个x）。
2. 只包含两个字符x和y，按如下规则构造s：
   • s = xyxy...xy（s长K个字符）
   • 如果K是奇数，s = xyxy...xyx（s长K+1个字符）
3. 包含三个或更多个字符，构造s的方法比较复杂。可以采用递归的方法，将问题分解为更小的子问题。

代码

Python

def construct_string(n: int, k: int) -> str:
    if k <= n:
        return 'a' * (n - k + 1) + 'b' * (k - 1)
    elif k <= n + (n - 1):
        diff = k - n
        mid = (diff + 1) // 2
        return 'a' * (n - mid + 1) + 'b' + 'a' * (mid - 1) + 'b' * (diff - 1) + 'a' * (n - diff)
    else:
        return construct_string(n + 1, k - n - (n - 1))

Java

public static String constructString(int n, int k) {
    if (k <= n) {
        return "a".repeat(n - k + 1) + "b".repeat(k - 1);
    } else if (k <= n + (n - 1)) {
        int diff = k - n;
        int mid = (diff + 1) / 2;
        return "a".repeat(n - mid + 1) + "b" + "a".repeat(mid - 1) + "b".repeat(diff - 1) + "a".repeat(n - diff);
    } else {
        return constructString(n + 1, k - n - (n - 1));
    }
}

解释

这里我们定义了一个函数construct_string()，接收两个参数：n表示字符串中字符种类的数量，k表示需要构造的符合要求的子序列数量。如果要构造的子序列数量小于等于n，那么我们的字符串将只包含一个字符，返回'a' * (n - k + 1) + 'b' * (k - 1)即可。

如果要构造的子序列数量大于n，那么我们需要将问题分解为更小的子问题。我们可以通过递归的方法来实现。在这里我们可以发现两个规律：

1. 当要构造的子序列数量处于区间 [n, 2n - 2] 时，字符串中必然会包含字符 b。
2. 当要构造的子序列数量超过 2n - 2 时，我们可以将问题规约到子问题：构造含有 n + 1 种字符，在 k - (n + 2n - 2) = k - 2n + 2 个子序列中找到一个对应的解。

对于第一种情况，我们需要构造一个由 a 和 b 组成的字符串。我们可以利用一个规律：对于任意一个长度为 n 的字符串，它的子序列数量为 2^n - 1。因此，我们可以通过以下步骤来构造这个字符串：

1. 确定 b 的位置。由于字符串中必须存在 k 个子序列，我们可以假设字符串中前 x 个字符是 a，后 y (y = n-x) 个字符是 b。则我们可以得到 x * y = 2k。
2. 寻找符合条件的 x 和 y。我们只需要在 [n, 2n - 2] 区间内，枚举 n 种字符的分配方法即可。

对于第二种情况，我们可以递归调用自身，寻找新的解。

以上是一个实现具有K个子序列的字符串的思路和对应的代码，可供参考。