📅 最后修改于: 2023-12-03 15:36:38.138000 🧑 作者: Mango
在进行一些算法和数据结构相关问题时，我们有时需要求解一个范围内的子集总和。例如，在一个包含 N 个整数的数组中，需要求解第 i 个元素到第 j 个元素的子集总和。
使用传统的计算方式，我们需要遍历所有子集并计算它们的和，这是一种时间复杂度为 O(2^N) 的算法。但是使用位集，我们可以在 O(N) 的时间内解决问题。
位集是一种使用二进制位来表示集合中元素是否存在的数据结构。在一个大小为 N 的位集中，第 i 位表示集合中是否存在元素 i。例如，一个包含元素 1、3 和 5 的集合可以表示为 101010 的位集。
假设我们有一个大小为 N 的数组 a，我们需要求解从第 i 个元素到第 j 个元素的子集总和。首先，我们可以将从左到右的所有元素的前缀和存储在数组 s 中。即，s[k] 表示数组 a 中前 k 个元素的和。然后，我们可以使用位集表示所有可能的子集。
从第 i 个元素到第 j 个元素的子集总和可以根据下面的公式计算：
sum = 0
for k in range(1 << j-i+1):
subset = k << i
sum += s[subset + (1 << i) - 1] - s[subset - 1]
在上述公式中，循环将遍历所有可能的子集。子集在位集表示法中表示为一个二进制串，其中第 i 位表示集合中是否存在元素 i。位集 k 表示的子集可以通过将位集左移 i 位得到。例如，要表示包含元素 i 和 j 的子集，可以使用位集 k = (1 << i) | (1 << j)。子集的总和可以通过前缀和数组 s 计算得到。
除了求解范围内的子集总和之外，位集还有许多其他应用。例如，位集可以用于判断两个集合是否相交、计算集合的补集、计算集合的并集和交集等操作。