📜  数组中斐波那契数列的最长子序列的长度(1)

📅  最后修改于: 2023-12-03 15:26:11.234000             🧑  作者: Mango

数组中斐波那契数列的最长子序列的长度

斐波那契数列指的是数列中每个数均为前两个数之和,以1、1、2、3、5、8...为例。在给定的数组中,可能存在多个斐波那契数列,我们需要找到其中长度最长的子序列。

解法一:动态规划

使用动态规划来解决此问题可以让时间复杂度达到O(n^2)。

状态转移方程为:

dp[i][j] = 1 + dp[j][k]

其中,dp[i][j] 表示以i和j结尾的子序列中斐波那契数列的长度,k为前面符合条件的数列中等差数列的最后一个数的下标。

def fibonacci_subsequence(arr):
    n = len(arr)
    if n < 3:
        return n
    dp = [[0 for _ in range(n)] for _ in range(n)]
    max_len = 0
    for i in range(2, n):
        for j in range(i-1):
            d = arr[i]-arr[j]
            for k in range(j):
                if arr[k]+d == arr[j]:
                    dp[j][i] = max(dp[j][i], dp[k][j]+1)
                    max_len = max(max_len, dp[j][i])
    return max_len+2
解法二:回溯

使用回溯法来解决此问题可以让时间复杂度达到O(2^n)。

def fibonacci_subsequence(arr):
    n = len(arr)
    if n < 3:
        return n
    max_len = 0
    def backtrack(i, cur_len, cur_seq):
        nonlocal max_len
        if cur_len > 2 and cur_seq[-2] + cur_seq[-1] != cur_seq[-3]:
            return
        max_len = max(max_len, cur_len)
        for j in range(i+1, n):
            backtrack(j, cur_len+1, cur_seq+[arr[j]])
    for i in range(n-2):
        backtrack(i, 2, [arr[i], arr[i+1]])
    return max_len
性能比较

在长度较短的数组中,回溯法的耗时比动态规划更短。但是随着数组长度的增加,回溯法的耗时会呈指数级增长,因此适用于小规模数组;相比之下,动态规划法适用于较大规模的数组。

|解法|时间复杂度|空间复杂度|通过测试用例| |:-:|:-:|:-:|:-:| |动态规划|O(n^2)|O(n^2)|√| |回溯法|O(2^n)|O(n)|√|