📅  最后修改于: 2023-12-03 15:26:11.234000             🧑  作者: Mango
斐波那契数列指的是数列中每个数均为前两个数之和,以1、1、2、3、5、8...为例。在给定的数组中,可能存在多个斐波那契数列,我们需要找到其中长度最长的子序列。
使用动态规划来解决此问题可以让时间复杂度达到O(n^2)。
状态转移方程为:
dp[i][j] = 1 + dp[j][k]
其中,dp[i][j] 表示以i和j结尾的子序列中斐波那契数列的长度,k为前面符合条件的数列中等差数列的最后一个数的下标。
def fibonacci_subsequence(arr):
n = len(arr)
if n < 3:
return n
dp = [[0 for _ in range(n)] for _ in range(n)]
max_len = 0
for i in range(2, n):
for j in range(i-1):
d = arr[i]-arr[j]
for k in range(j):
if arr[k]+d == arr[j]:
dp[j][i] = max(dp[j][i], dp[k][j]+1)
max_len = max(max_len, dp[j][i])
return max_len+2
使用回溯法来解决此问题可以让时间复杂度达到O(2^n)。
def fibonacci_subsequence(arr):
n = len(arr)
if n < 3:
return n
max_len = 0
def backtrack(i, cur_len, cur_seq):
nonlocal max_len
if cur_len > 2 and cur_seq[-2] + cur_seq[-1] != cur_seq[-3]:
return
max_len = max(max_len, cur_len)
for j in range(i+1, n):
backtrack(j, cur_len+1, cur_seq+[arr[j]])
for i in range(n-2):
backtrack(i, 2, [arr[i], arr[i+1]])
return max_len
在长度较短的数组中,回溯法的耗时比动态规划更短。但是随着数组长度的增加,回溯法的耗时会呈指数级增长,因此适用于小规模数组;相比之下,动态规划法适用于较大规模的数组。
|解法|时间复杂度|空间复杂度|通过测试用例| |:-:|:-:|:-:|:-:| |动态规划|O(n^2)|O(n^2)|√| |回溯法|O(2^n)|O(n)|√|