给定长度的戴克单词

简介

戴克单词是指由一个五边形组成的字母序列，其中相邻两个字母之间都共用一个边，如下图所示。

给定长度的戴克单词指的是，该单词的长度已经确定，需要找到所有可能的组合。

算法

穷举法

由于戴克单词中的字母是由五边形的边代表的，因此其长度不超过12。我们可以穷举所有长度为1~12的戴克单词，然后判断每个戴克单词是否合法。对于每个可能的戴克单词，我们可以使用深度优先搜索算法来检查其合法性。当戴克单词的长度已达到给定长度时，如果该单词合法，则将其保存。

这种算法的时间复杂度为$O(12^n)$，其中$n$为戴克单词的长度。虽然时间复杂度很高，但由于戴克单词长度的上限为12，适用于求解较小规模的问题。

动态规划

与穷举法不同，动态规划是一种自底向上的算法，可以在$O(n^2)$的时间内求解给定长度的戴克单词。

设$F_k$为长度为$k$的单词的所有可能情况。对于所有的$k>5$，有：

$$F_k={a[i]+F_{k-1-i}:1\leq i\leq k-5}$$

其中$a[i]$表示第$i$个五边形上的字母。

根据这个公式，可以在知道$F_{k-1}$的情况下，通过$O(k)$的时间复杂度计算出$F_k$。

示例代码

下面是一个使用动态规划算法求解给定长度的戴克单词的示例代码。

def dekes_word(k):
    a = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E']
    F = []
    for i in range(k + 1):
        F.append(set())
    F[0].add('')
    F[1].update(a)
    F[2].update(set([x + y for x in a for y in a if x != y]))
    F[3].update(set([x + y + z for x in F[1] for y in F[2] for z in F[1] if x[-1] != z[0]]))
    F[4].update(set([x + y + z for x in F[1] for y in F[3] for z in F[1] if x[-1] != z[0]]))
    F[5].update(set([x + y + z for x in F[2] for y in F[2] for z in F[1] if x[-1] != z[0] and y[-1] != z[0]]))
    for i in range(6, k + 1):
        for j in range(1, i - 3):
            F[i].update(set([x + y for x in a for y in F[i - j - 1] if x != y[-1]]))
    return F[k]

print(dekes_word(5))

上述代码中，$F_i$表示长度为$i$的戴克单词的集合。通过对前五个长度的戴克单词进行初始化，然后依次计算出$F_6$到$F_k$，最终得到长度为$k$的所有可能的戴克单词。

该算法的时间复杂度为$O(k^2)$，适用于求解较小规模的问题。