给定范围内的 K 个远距离素数对

简介

本文介绍如何使用编程语言求在给定范围内的 K 个远距离素数对。

远距离素数对是指差等于 $k$ 的两个素数，例如 $(3,7)$ 就是一个差为 $4$ 的远距离素数对。

在许多加密算法中，大素数是非常重要的基本组件。求解远距离素数对是测试一个大素数是否为质数的常规方法。

问题分析

• 输入：两个正整数 $n$ 和 $k$，表示要在 $n$ 以内求解远距离为 $k$ 的素数对。
• 输出：返回 $k$ 个远距离为 $k$ 的素数对或 less，如果找不到足够的数对。

求解远距离素数对问题可以分为以下步骤：

1. 使用筛法求出 $n$ 以内的所有素数。
2. 遍历找到 $k$ 个或 less 远距离素数对。

求素数

我们可以使用筛法求出 $n$ 以内的所有素数，这种算法称为埃拉托斯特尼筛法。

埃拉托斯特尼筛法的实现很简单，只需要从 2 开始遍历到 $n$，将每个质数的倍数标记成非质数，再从下一个未标记的数字开始遍历重复这个过程。

下面是 Python 的实现：

def sieve(n):
    is_prime = [True] * (n + 1)
    is_prime[0] = is_prime[1] = False

    for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
        if is_prime[i]:
            for j in range(i * i, n + 1, i):
                is_prime[j] = False

    return [i for i in range(n + 1) if is_prime[i]]

找远距离素数对

有了素数列表，现在我们可以遍历这个列表找到远距离素数对。

首先，我们需要找到 $k$ 的范围。因为远距离素数对的差是 $k$，所以第一个数必须小于或等于 $n-k$。

接下来，我们需要遍历素数列表，找到差数为 $k$ 的数对。对于每个素数 $p$，我们只需要在素数列表中检查 $p+k$ 是否为素数即可。如果两个都是素数，这就是一个远距离素数对。

下面是 Python 的实现：

def prime_pairs(n, k):
    primes = sieve(n)
    pairs = []

    for i in range(len(primes)):
        for j in range(i + 1, len(primes)):
            if primes[j] - primes[i] == k:
                pairs.append((primes[i], primes[j]))

    return pairs[:k]

结语

本文提供了一个简单的方法来寻找 $n$ 以内的 $k$ 个远距离素数对。这个算法的时间复杂度是 $O(n \log \log n + k^2)$，空间复杂度是 $O(n)$。

不过，还有更优秀的算法来寻找远距离素数对，例如铃声相似度算法和Miller-Rabin算法。如果你对算法优化感兴趣，可以进一步研究这些方法。