以N元树解决子段和问题

什么是子段和问题？

子段和问题（Subarray Sum Problem）是指给定一个整数数组，找到其中一个子数组，使得该子数组所有元素之和最大。例如，给定序列 [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]，其最大子段和为 [4,-1,2,1]，对应的和为6。

解决子段和问题的思路

为了解决子段和问题，我们可以使用一个叫做 N 元树的数据结构。N 元树实际上就是一种树状数组（Binary Indexed Tree，简称 BIT）的变体。

具体来说，我们可以将 N 元树看作是一个长度为 n 的数组，它实际上是将原始数组划分为 n 个不同的段，每个段中包含 n 个数字。N 元树通过一个递归的二分策略，将一个数组划分为 2^n 个区域（称之为 n-区域），每个区域包含 2^(N-n) 个数字。这个过程会一直递归下去，直到每个区域仅包含一个数字。这里的 n 取值范围为 0 到 N（0 表示原始数组，N 表示最终的 n-区域），并且需要保证相对的 n 值唯一。

当一个数字被加入 N 元树时，它同时也会被加入到 N 元树的所有 n-区域中。换句话说，它会被加入到高层区域的和中，并且也会被加入到低层区域的和中。由于每个区域都有一个唯一的 n 值，我们可以通过单个 bit 数组来表示 N 元树中的所有 n-区域。例如，第 i 个区间的和可以用以下公式来进行计算：

sum[i] = bit[i] + sum[parent(i)]

其中 parent(i) 表示第 i 个区间的父区间，也就是包含它的更高级别的区间。

基于 N 元树的子段和算法

为了解决子段和问题，我们可以使用 N 元树实现一个 O(n log n) 的算法。具体来说，我们可以遍历原始数组，并将每个元素加入 N 元树中。同时，我们可以利用 N 元树快速计算出任意一段区间的和，例如 [i,j] 之间的和可以如下计算：

int subarray_sum(int i, int j) { int sum_j = sum[j], sum_i = sum[i - 1]; return sum_j - sum_i; }

其中 sum_i 和 sum_j 分别表示原始数组前 i 个元素的和以及前 j 个元素的和。由于每个元素只会被计算一次，因此该算法的时间复杂度为 O(n log n)。

代码实现

// 建树
void build_tree(int n) {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int idx = i;
        for (int j = 0; j <= N; j++) {
            sum[j][idx] += arr[i];
            idx += (idx & -idx);
        }
    }
}

// 区间求和
int sum(int l, int r, int n) {
    int res = 0;
    for (int i = n; i >= 0; i--) {
        res += sum[i][r];
        res -= sum[i][l - 1];
        r = (r & ~(1 << i)) + 1;
        l = (l & ~(1 << i)) + 1;
    }
    return res;
}

总结

通过将原始数组划分为不同的区间并利用 N 元树的递归二分法，我们可以实现一个高效的子段和算法。虽然该算法的时间复杂度较低，但它的实现比较复杂，需要仔细考虑每个区间的关系，因此需要巧妙地设计代码。