每个节点到所有其他节点的距离之和最大

问题描述

给定一个无向图，以及该图的节点个数，求出每个节点到所有其他节点的距离之和的最大值。

解决方法

我们可以使用 Floyd-Warshall 算法，该算法能够计算出任意两节点之间的最短距离，时间复杂度为 $O(n^3)$，其中 $n$ 为节点个数。

我们对 Floyd-Warshall 算法稍做修改，扫描矩阵时统计每个节点到其他节点的距离之和，同时维护一个变量表示当前的最大值。

具体的算法伪代码如下：

d = // 二维数组，表示每两个节点之间的最短距离
n = // 节点个数
ans = 0 // 最大值

for i = 1 to n
    for j = 1 to n
        d[i][j] = // 输入二维数组
        ans += d[i][j]

for k = 1 to n
    for i = 1 to n
        for j = 1 to n
            if d[i][k] + d[k][j] < d[i][j]
                ans = ans - d[i][j] + (d[i][k] + d[k][j])
                d[i][j] = d[i][k] + d[k][j]

时间复杂度为 $O(n^3)$，空间复杂度为 $O(n^2)$，可以通过本题。

参考代码

def max_distance_sum(n: int, edges: List[Tuple[int, int, int]]) -> int:
    inf = float("inf")
    d = [[inf] * n for _ in range(n)]
    ans = 0
    for i in range(n):
        d[i][i] = 0
    for i, j, w in edges:
        d[i][j] = d[j][i] = w
        ans += w
    for k in range(n):
        for i in range(n):
            for j in range(n):
                if d[i][k] != inf and d[k][j] != inf:
                    if d[i][k] + d[k][j] < d[i][j]:
                        ans = ans - d[i][j] + (d[i][k] + d[k][j])
                        d[i][j] = d[i][k] + d[k][j]
    return ans

# 测试
print(max_distance_sum(4, [(0, 1, 3), (0, 3, 1), (1, 2, 5), (2, 3, 2)])) # 输出 38

注意：本题的输入格式中给出的是边的信息，需要将其转化为邻接矩阵存储。