子序列+连续元素+差值小于等于1

在程序开发中，经常需要对序列进行计算处理。其中涉及到的问题之一是寻找子序列中符合特定要求的元素个数。本文将讨论如何寻找一个序列中，具有连续元素且差值小于等于1的子序列个数。

问题描述

给定一个序列 $a_0,a_1,...,a_{n-1}$，求其中具有连续元素且差值小于等于1的子序列的数量。

例如，对于序列 $4,5,6,7,10,11,12$，符合要求的子序列为 $[4,5,6,7]$、$[5,6,7]$、$[10,11,12]$，共计 3 个。

解题思路

本文将介绍两种解题思路，一种是暴力枚举法，另一种是动态规划法。

暴力枚举法

首先，我们可以对序列中任意两个位置 $(i, j)$ 进行枚举，计算从位置 $i$ 到位置 $j$ 所组成的子序列是否满足要求。

具体来说，我们可以使用两个指针 $p$ 和 $q$，初始时都指向序列的第一个位置，然后依次向右移动。当 $|a_q - a_p| \le 1$ 时，$q$ 向右移动；否则，$p$ 向右移动。

每当 $q$ 向右移动时，可以计算得到以 $p$ 和 $q$ 开头和结尾的符合条件的子序列数目。

按照上述方法进行计算，最后累加所有符合条件的子序列的数量，就可以得到整个序列中共有多少个符合条件的子序列。

这种方法的时间复杂度为 $O(n^2)$。

动态规划法

另一种解法是使用动态规划。具体来说，我们维护一个二维数组 $dp$，$dp_{i,j}$ 表示从位置 $i$ 到位置 $j$ 所形成的子序列的数量。

首先，$dp_{i,i}$ 的值为 $1$，即每个位置自成一个子序列；并且如果 $|a_i - a_{i-1}| \le 1$，那么 $dp_{i-1,i}$ 的值为 $2$，即位置 $i-1$ 和位置 $i$ 可以组成一个符合条件的子序列。

对于 $i < j$ 的情况，如果 $|a_j - a_{j-1}| \le 1$，那么 $dp_{i,j-1}$ 的值应该加上 $dp_{i,j-2}$，即位置 $j-1$ 和位置 $j$ 组成的子序列数量。

另外，如果 $|a_i - a_j| \le 1$，那么 $dp_{i,j-1}$ 的值应该加上 $dp_{i+1,j}$，即位置 $i$ 和位置 $j$ 组成的子序列数量。这种情况下，我们相当于在子序列 $i+1,j-1$ 的基础上，再新增了两个符合要求的元素。

按照上述方式计算，最终 $dp_{0,n-1}$ 的值即为所求的答案。

这种方法的时间复杂度为 $O(n^2)$，空间复杂度为 $O(n^2)$。

代码实现

下面是使用动态规划的 Python 代码实现：

def countSubsequences(nums):
    n = len(nums)
    dp = [[0] * n for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        dp[i][i] = 1
        if i > 0 and abs(nums[i] - nums[i-1]) <= 1:
            dp[i-1][i] = 2
    for k in range(2, n):
        for i in range(n-k):
            j = i + k
            if abs(nums[j] - nums[j-1]) <= 1:
                dp[i][j] += dp[i][j-2]
            if abs(nums[i] - nums[j]) <= 1:
                dp[i][j] += dp[i+1][j]
    return dp[0][n-1]

结论

本文介绍了如何寻找一个序列中，具有连续元素且差值小于等于1的子序列的数量。我们介绍了两种解法：暴力枚举法和动态规划法。

在大多数情况下，动态规划法的效率更高，因为暴力枚举法的时间复杂度为 $O(n^2)$，而动态规划法的时间复杂度为 $O(n^2)$。因此，对于较大的序列，动态规划法更为适用。