可以内接矩形的最大圆数

在一个给定矩形内，找到可以内接且互相不重叠的最大圆数是一个经典问题。这个问题在计算几何和离散数学中被广泛研究和讨论。下面我们将介绍如何使用计算几何技术解决这个问题。

问题描述

有一个矩形，我们需要在它内部画尽可能多的内切圆，并且这些圆之间不能相交或包含。如图所示：

我们需要求出矩形内能画出的最大内切圆数。

解决方案

问题转化

对于矩形内的最大内切圆问题，我们可以将其转化为一个最大点独立集问题。具体来说，我们可以将每个圆看做图中的一个点，如果两个圆不相交且内接，就在它们之间连一条无向边。这时，问题就转化为找到独立集中元素数量最多的子集。

思路分析

一个独立集就是一个不相交的点集，那么最大独立集就是一个点数最多的不相交点集。因此，我们可以使用贪心策略来求解最大独立集。

具体来说，我们可以考虑如下的贪心策略：

1. 选择圆的过程按照圆的半径从大到小的顺序进行。将所有圆按照半径大小排序。
2. 从最大的圆开始，选择它作为独立集的成员。
3. 排除与已经选择的圆相交的圆，从未被排除的圆中选择一个半径最大的圆，将其加入独立集。
4. 重复步骤3，直到无法再添加圆为止。

实现细节

具体实现时，我们需要使用计算几何的技巧来判断两个圆是否相交或者内接。这些技巧包括：

• 两个圆相离，当且仅当它们的距离大于它们的半径之和。
• 两个圆相交，当且仅当它们的距离小于它们的半径之和。
• 两个圆内接，当且仅当它们的距离等于它们的半径之和。

代码实现如下：

from typing import List, Tuple
from collections import deque

class Circle:
    def __init__(self, x: float, y: float, r: float):
        self.x = x
        self.y = y
        self.r = r

    def is_in(other) -> bool:
        dist = (self.x - other.x) ** 2 + (self.y - other.y) ** 2
        return dist <= (self.r + other.r) ** 2

def max_disjoint_circles(circles: List[Circle]) -> int:
    # 按半径从大到小排序
    circles.sort(key=lambda c: -c.r)
    # 标记已选中的圆
    used = [False] * len(circles)
    # 最大独立集
    max_set = []
    for i in range(len(circles)):
        if used[i]:
            continue
        # 加入该圆
        used[i] = True
        max_set.append(i)
        # 排除相交的圆
        for j in range(i + 1, len(circles)):
            if circles[i].is_in(circles[j]):
                used[j] = True
    return len(max_set)

总结

本文介绍了如何使用计算几何的技巧来解决矩形内可以内接的最大圆数问题。具体来说，我们将问题转化为最大点独立集问题，并采用贪心策略来求解最大点独立集。具体实现时，需要使用计算几何的技巧来判断两个圆是否相交或者内接。