C++中的扫描线

什么是扫描线算法？

扫描线算法是一种计算几何中常用的算法，主要用于解决区间问题和求解线段交点问题。扫描线算法的思路就是想象一个垂直于x轴的扫描线从左到右扫描整个平面，同时记录扫描线与图形交点的位置。在扫描过程中，我们可以通过相邻交点之间的状态进行区间内部的计算。

扫描线算法的具体应用

扫描线算法的应用非常广泛，下面我将介绍两个典型的应用：

1.求解矩形面积并

矩形面积并问题主要是求解多个矩形的重叠部分的总面积。在求解矩形面积并问题时，我们可以使用扫描线算法。具体步骤如下:

• 将所有矩形按照其左边界的坐标进行升序排序。
• 从左往右扫描整个平面，每次扫到一个矩形时，我们将其加入到当前的扫描线中，并更新扫描线中的矩形状态。
• 根据交点的状态来计算当前矩形的面积贡献，并将贡献加入到答案中。

代码实现如下：

struct Segment {
    int x, L, R, k;
    Segment(int _x = 0, int _L = 0, int _R = 0, int _k = 0): x(_x), L(_L), R(_R), k(_k) {}
    bool operator <(const Segment& rhs) const {
        return x < rhs.x;
    }
};

Segment seg[N << 1];
int ql[N << 1], qr[N << 1], h[N << 1];
int cnt[N << 1];

ll area() {
    ll ans = 0;
    int n = 0;
    for (int i = 0; i < P; i += 2) {
        int bx = max(a[i].x1, a[i + 1].x1);
        int ex = min(a[i].x2, a[i + 1].x2);
        if (bx >= ex) {
            continue;
        }
        ql[++n] = a[i].y;
        qr[n] = a[i + 1].y;
        h[n] = ex - bx;
        seg[n] = Segment(bx, a[i].y, a[i + 1].y, 1);
        seg[++n] = Segment(ex, a[i].y, a[i + 1].y, -1);
    }
    sort(seg + 1, seg + n + 1);
    cnt[0] = qr[0] - ql[0];
    for (int i = 1, j = 1; i <= n; i++) {
        // 将扫描线中的矩形个数为0的情况去掉
        if (cnt[j - 1] == 0) {
            j--;
        }
        int len = seg[i].x - seg[i - 1].x;
        for (int k = j; k < n; k++) {
            if (ql[k] == qr[k]) {
                continue;
            }
            int L = max(seg[i - 1].L, ql[k]);
            int R = min(seg[i - 1].R, qr[k]);
            if (L < R) {
                ans += 1ll * (L - ql[k] + R - qr[k]) * h[k] * len / 2;
                cnt[k] += seg[i].k;
            }
            if (k < n && qr[k] == ql[k + 1]) {
                j = k + 1;
            }
        }
        cnt[n] = qr[n] - ql[n];
    }
    return ans;
}

2.求解矩形并的周长

求解矩形并的周长问题主要是求解多个矩形的边缘长度之和，并去除边缘重叠部分的长度。在求解矩形并的周长时，我们可以使用扫描线算法。具体步骤如下：

• 将所有矩形按照其左边界的坐标进行升序排序。
• 从左往右扫描整个平面，每次扫到一个矩形时，我们将其加入到当前的扫描线中，并更新扫描线中的矩形状态。
• 计算当前矩形与上下两个矩形的边缘长度，将所得到的贡献加入到答案中。
• 最后，对答案进行去重操作即可。

代码实现如下：

// 存储矩形上下边缘的信息
struct Segment {
    int x, y1, y2, k;
    Segment(int _x = 0, int _y1 = 0, int _y2 = 0, int _k = 0): x(_x), y1(_y1), y2(_y2), k(_k) {}
    bool operator <(const Segment& rhs) const {
        return x < rhs.x || x == rhs.x && k < rhs.k;
    }
};

int n;
Segment seg[MaxN << 1], tmp[MaxN << 1];
int tag[MaxN << 2], hs[MaxN << 2];
bitset<MaxN << 1> vis;

ll calc(Segment q[], int m) {
    ll ans = 0;
    sort(q + 1, q + m + 1);
    memset(tag, 0, sizeof(tag));
    memset(hs, 0, sizeof(hs));
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        ans += 1ll * (q[i].x - q[i - 1].x) * hs[1];
        for (int j = q[i - 1].y1; j < q[i - 1].y2; j++) {
            tag[j] += q[i].k;
        }
        int now = 0, las = 0;
        for (int j = 0; j <= MaxN; j++) {
            if (tag[j] > 0 && !vis[j]) {
                vis[j] = 1, ++now;
                if (now == 1) ab = j;
                las = j;
            } else if (tag[j] == 0 && vis[j]) {
                vis[j] = 0;
                if (now == 1) {
                    ans -= q[i + 1].x - q[i].x;
                } else if (now == 2) {
                    ans -= q[i + 1].x - q[i].x - (j - ab) * 2;
                }
                now--;
            }
        }
        for (int j = q[i - 1].y1; j < q[i - 1].y2; j++) {
            hs[1] += tag[j];
            hs[j - q[i - 1].y1 + 2] = hs[j - q[i - 1].y1 + 1] + tag[j];
        }
    }
    return ans;
}

ll get_perimeter() {
    int cnt = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        tmp[++cnt] = Segment(a[i].x1, a[i].y1, a[i].y2, 1);
        tmp[++cnt] = Segment(a[i].x2, a[i].y1, a[i].y2, -1);
    }
    return calc(tmp, cnt);
}

结语

以上就是关于C++中扫描线算法的介绍。扫描线算法是计算几何中比较重要的算法之一，掌握扫描线算法不仅可以帮助我们更好的理解计算几何的相关问题，而且可以帮助我们更加高效的解决实际问题。