通过出售电影票可以收集的最大金额

简介

在电影院售卖电影票可以获得收益，但是由于市场供求关系等各种因素影响，售卖价格和购买数量不同，如何确定最佳的出售方式以获取最大的收益成为了一个有趣而又实用的问题。

此类问题属于动态规划的范畴。动态规划是一种根据子问题的解来推导出问题的解的算法。它通过将原问题分解为相对简单的子问题的方式来求解，而这些子问题的解则以某种方式组合以得出原问题的解。

解法——动态规划

使用动态规划的思想获得通过出售电影票可以收集的最大金额。具体思路如下：

1. 定义状态：定义$dp[i][j]$代表当还剩$i$张电影票要出售，且当前售出价为$j$时，可以获得的最大收益。
2. 边界条件：当还剩下0张电影票时，任何售出价都无法获得收益；当售出价为0时，也无法获得收益。
3. 状态转移方程：对于第$i$天，需要考虑两种情况：售出与不售出。

$$dp[i][j] = \max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-k] + price[i][k]) \ (0 \leq k \leq j)$$

其中，$dp[i-1][j]$代表不售出获取的最大收益；$dp[i-1][j-k]$代表售出$k$张电影票获取的最大收益，$k$的范围是从0到当日售出数量的上限。

最终的答案则是$dp[n][m]$，其中$n$表示总共的电影票数，$m$表示最高售出价。

代码实现

def max_profit(n, m, price):
    # 初始化dp[i][j]
    dp = [ [0]*(m+1) for _ in range(n+1)]
    
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, m+1):
            for k in range(j+1):
                # dp状态转移方程
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-k] + price[i-1][k])
    
    return dp[n][m]

性能分析

由于需要遍历三层循环，时间复杂度最坏情况下是$O(n^3)$。因此，当输入规模较大时，可能需要进行性能优化。