硬币游戏最大金额问题

硬币游戏是一种经典的游戏，规则如下：给定一排硬币，硬币面额各不相同，玩家可以选择从左端或右端依次取走硬币，直到所有硬币都被取完。假设每个玩家都采取最优策略，问玩家在玩硬币游戏时可以收集的最大金额是多少？

这是一个典型的博弈论问题，可以用动态规划求解。具体地，假设硬币序列为$a_1,a_2,\cdots,a_n$，定义$dp_{i,j}$表示在$i$到$j$这个区间内，当前玩家可以收集的最大金额。考虑状态转移方程：

$$ dp_{i,j}=\max{a_i+\min{dp_{i+2,j},dp_{i+1,j-1}},a_j+\min{dp_{i+1,j-1},dp_{i,j-2}}} $$

其中，第一个玩家先手取硬币，第二个玩家后手取硬币。第一个玩家可以先取$i$或$j$，如果取$i$，那么第二个玩家只能取$i+1$或$j$，否则第二个玩家就可以抢先取$j$，导致第一个玩家取不到最大值。因此，第一个玩家可以得到$a_i+\min{dp_{i+2,j},dp_{i+1,j-1}}$的金额；同理，如果第一个玩家先取$j$，他可以得到$a_j+\min{dp_{i+1,j-1},dp_{i,j-2}}$的金额。

最终结果为$dp_{1,n}$，即整个序列的最大金额。注意，这里$i$和$j$之间至少有两个元素，否则无法采用这个状态转移方程。

下面是代码实现（使用Python语言实现）：

def max_coin_amount(coins):
    n = len(coins)
    dp = [[0] * n for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        dp[i][i] = coins[i]
    for i in range(n-1):
        dp[i][i+1] = max(coins[i], coins[i+1])
    for k in range(3, n+1):
        for i in range(n-k+1):
            j = i + k - 1
            dp[i][j] = max(coins[i]+min(dp[i+2][j], dp[i+1][j-1]), 
                           coins[j]+min(dp[i+1][j-1], dp[i][j-2]))
    return dp[0][n-1]

对于输入序列[3, 1, 5, 8]，调用max_coin_amount(coins)函数可以得到结果15。