最小化到达N长度直线路径末端的成本介绍

问题描述

给定一个起点和终点，以及中间可能包含多个点的一条直线路径，每次抵达一个点需要付出一定的成本，问如何从起点出发，经过这些点，以最小化到达终点的成本。

解法分析

这是一个经典的最短路问题，可以使用Dijkstra算法来解决。首先将起点加入到优先队列中，队列中每个元素表示一个点，具有以下属性：

• name：点的名称。
• weight：从起点到该点的成本。
• prev：路径中该点的前一个点。

每次从队列中取出权值最小的点，更新与该点相连的点的权值，并将它们加入到优先队列中。

需要注意的是，由于本题中的边长是变化的，所以需要把边长抽象成成本，并将边权值的比较、加法等操作改为成本的比较、加法等操作。

代码实现

import heapq
from typing import List

class Point:
    def __init__(self, name: str, weight: int, prev: 'Point' = None):
        self.name = name
        self.weight = weight
        self.prev = prev

    def __lt__(self, other):
        return self.weight < other.weight

def dijkstra(start: Point, destinations: List[Point]) -> int:
    heap = [start]
    visited = set()

    while heap:
        node = heapq.heappop(heap)
        visited.add(node)

        if node in destinations:
            return node.weight

        for dest in destinations:
            if dest not in visited:
                cost = node.weight + get_cost(node.name, dest.name)
                if cost < dest.weight:
                    dest.prev = node
                    dest.weight = cost
                    heapq.heappush(heap, dest)

def get_cost(start: str, dest: str) -> int:
    # 计算从起点到终点的成本，这里可以根据实际情况调整
    return abs(ord(start) - ord(dest))


if __name__ == '__main__':
    start_point = Point('A', 0)
    end_point = Point('E', float('inf'))
    mid_points = [
        Point('B', float('inf')),
        Point('C', float('inf')),
        Point('D', float('inf')),
    ]
    destinations = [start_point, end_point] + mid_points

    start_point.prev = start_point
    start_point.weight = 0

    # 通过调用dijkstra函数来计算最小成本
    min_cost = dijkstra(start_point, destinations)

    # 输出最小成本和路径
    print(f'最小成本为: {min_cost}')
    path = [end_point.name]
    p = end_point
    while p != start_point:
        path.append(p.prev.name)
        p = p.prev
    path.reverse()
    print(f'最短路径为: {" -> ".join(path)}')

以上代码是Python实现，可以在 GitHub 上查看完整代码。

总结

最短路问题在实际应用中有很多场景，比如导航、数据传输等。通过本题的实现，加深了对Dijkstra算法的理解，也能够更加准确地抽象问题，将实际情况转化为计算机语言能够理解的形式，达到能够解决实际问题的目的。