题目描述

给定两个长度相同的整数数组 nums1 和 nums2，找出所有 nums1[i] 和 nums2[j] 的按位与结果与按位异或结果之差的绝对值之和，并返回该值。

示例

输入: nums1 = [1,2,3], nums2 = [4,5,6]

输出: 16

解释:

• 第一个数对：nums1[0] = 1 和 nums2[0] = 4。 1 AND 4 = 0，1 XOR 4 = 5。两个结果差的绝对值为 |0 - 5| = 5。
• 第二个数对：nums1[1] = 2 和 nums2[1] = 5。 2 AND 5 = 0，2 XOR 5 = 7。两个结果差的绝对值为 |0 - 7| = 7。
• 第三个数对：nums1[2] = 3 和 nums2[2] = 6。 3 AND 6 = 2，3 XOR 6 = 5。两个结果差的绝对值为 |2 - 5| = 3。

因此，绝对值之和为 5 + 7 + 3 = 15，最终结果为 16。

解法

我们可以直接用两个 for 循环来遍历 nums1 和 nums2 数组，然后计算每一对数字的按位与和按位异或的结果之差的绝对值，最后将所有的差值绝对值之和返回即可。

def get_difference(nums1, nums2):
    total_diff = 0
    for num1 in nums1:
        for num2 in nums2:
            bitwise_and = num1 & num2
            bitwise_xor = num1 ^ num2
            diff = abs(bitwise_and - bitwise_xor)
            total_diff += diff
    return total_diff

该算法的时间复杂度为 $O(n^2)$，其中 $n$ 是 nums1 和 nums2 数组的长度。如果数组长度较大，可能会超时或者占用过多的空间，因此我们需要进一步优化该算法。

我们可以通过利用位运算的性质来减少计算量。假设某一位上，nums1[i] 和 nums2[j] 的值分别为 $a$ 和 $b$，如果 $a$ 和 $b$ 的值都为 $1$，那么它们的按位与结果为 $1$，按位异或结果为 $0$，两者的差的绝对值为 $1$；如果 $a$ 和 $b$ 的值都为 $0$，那么它们的按位与结果和按位异或结果都为 $0$，两者的差的绝对值为 $0$；如果 $a$ 和 $b$ 的值只有一个为 $1$，另一个为 $0$，那么它们的按位与结果和按位异或结果都为 $0$，两者的差的绝对值为 $0$。因此，在进行位运算时，如果 $a$ 和 $b$ 的某一位都是 $0$，那么可以直接跳过。

def get_difference(nums1, nums2):
    total_diff = 0
    n = len(nums1)
    for i in range(32):
        count_ones = 0  # 统计 nums1 和 nums2 中第 i 位为 1 的数的个数
        for j in range(n):
            if (nums1[j] & (1 << i)) or (nums2[j] & (1 << i)):
                count_ones += 1
        count_zeros = n - count_ones  # 统计 nums1 和 nums2 中第 i 位为 0 的数的个数
        total_diff += count_ones * count_zeros * (1 << i)  # 计算差的绝对值之和
    return total_diff

该算法的时间复杂度为 $O(n\ log\ MAX)$，其中 $MAX$ 是 nums1 和 nums2 数组中元素的最大值。因为位运算的时间复杂度为 $O(log\ MAX)$，而外层循环最多只需要执行 $32$ 次，因此总的时间复杂度为 $O(n\ log\ MAX)$。由于该算法不需要额外的空间，因此空间复杂度为 $O(1)$，是一个非常优秀的算法。